Интегральная формула Лобачевского

В математике интегралы Дирихле играют важную роль в теории распределения . Мы можем увидеть интеграл Дирихле с точки зрения распределений.

Одним из них является несобственный интеграл функции sinc по положительной действительной линии:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Интегральная формула Дирихле Лобачевского.

Позволять $f(x)$ быть непрерывной функцией, удовлетворяющей условию $\pi$-периодическое предположение $f(x+\pi )=f(x)$, и $f(\pi -x)=f(x)$, для $0\leq x<\infty$. Если интеграл $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx$ в качестве несобственного интеграла Римана имеем Лобачевского Дирихле интегральную формулу

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx$

Более того, мы имеем следующее тождество как расширение Лобачевского интегральной формулы Дирихле

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.$

В качестве приложения возьмите $f(x)=1$. Затем

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}.$

Ссылки

• Харди, GH (1909). «Интеграл $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$". Математический вестник . 5 (80): 98–103. JSTOR   3602798 .
• Диксон, Альфред Кардью (1912). «Доказательство того, что $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$". Математический вестник . 6 (96): 223–224. JSTOR   3604314 .