Модифицированное логнормальное степенное распределение

Модифицированная логнормальная степенная функция ( MLP ) — это функция с тремя параметрами, которую можно использовать для моделирования данных, которые имеют характеристики логнормального распределения и поведение степенного закона . Он был использован для моделирования функциональной формы функции начальной массы (IMF). В отличие от других функциональных форм IMF, MLP представляет собой единую функцию без каких-либо условий присоединения.

Функциональная форма

Замкнутая форма функции плотности вероятности MLP имеет следующий вид:

${\begin{aligned}f(m)={\frac {\alpha }{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-(1+\alpha )}{\text{erfc}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)\right),\ m\in [0,\infty )\end{aligned}}$

где ${\begin{aligned}\alpha ={\frac {\delta }{\gamma }}\end{aligned}}$ – асимптотический степенной индекс распределения. Здесь $\mu _{0}$ и $\sigma _{0}^{2}$ представляют собой среднее значение и дисперсию соответственно основного логнормального распределения, из которого получено MLP.

Математические свойства

Ниже приведены несколько математических свойств распределения MLP:

Совокупное распределение

MLP Кумулятивная функция распределения ( $F(m)=\int _{-\infty }^{m}f(t)\,dt$) дается:

${\begin{aligned}F(m)={\frac {1}{2}}{\text{erfc}}\left(-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)-{\frac {1}{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-\alpha }{\text{erfc}}\left({\frac {\alpha \sigma _{0}}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)\right)\end{aligned}}$

Мы можем видеть это как $m\to 0,$ что $\textstyle F(m)\to {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln(m-\mu _{0})}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right),$ которая представляет собой кумулятивную функцию распределения для логарифмически нормального распределения с параметрами µ ₀ и σ ₀ .

Среднее значение, дисперсия, сырые моменты

Ожидаемая стоимость ​ $M$^к дает $k$^й сырой момент $M$,

${\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }m^{k}f(m)\mathrm {d} m\end{aligned}}$

Это существует тогда и только тогда, когда α > $k$, и в этом случае оно становится:

${\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -k}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}k^{2}}{2}}+\mu _{0}k\right),\ \alpha >k\end{aligned}}$

что такое $k$^й необработанный момент логнормального распределения с параметрами µ ₀ и σ _0, масштабированными по формуле α ⁄ α- $k$ в пределе α→∞. Это дает среднее значение и дисперсию распределения MLP:

${\begin{aligned}\langle M\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -1}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{2}}+\mu _{0}\right),\ \alpha >1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\langle M^{2}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -2}}\exp \left(2\left(\sigma _{0}^{2}+\mu _{0}\right)\right),\ \alpha >2\end{aligned}}$

Наш( $M$) = ⟨ $M$² ⟩-(⟨ $M$⟩) ² = α exp(σ ₀ ² + 2м ₀ ) ( ⁠ exp(σ ₀ ² ) / а-2 ⁠ - ⁠ а / (а-2) ² ) , а > 2

Режим

Решение уравнения $f'(m)$ = 0 (приравнивая наклон к нулю в точке максимумов) для $m$ дает режим распределения MLP.

$f'(m)=0\Leftrightarrow K\operatorname {erfc} (u)=\exp(-u^{2}),$

где $\textstyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln m-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)$ и $K=\sigma _{0}(\alpha +1){\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}.$

Для решения этого трансцендентного уравнения необходимы численные методы. Однако, отметив, что если $K$≈1, то u = 0 дает нам режим $m$^* :

$m^{*}=\exp(\mu _{0}+\alpha \sigma _{0}^{2})$

Случайная переменная

Логнормальная случайная величина равна:

${\begin{aligned}L(\mu ,\sigma )=\exp(\mu +\sigma N(0,1))\end{aligned}}$

где $N(0,1)$ является стандартной нормальной случайной величиной. Экспоненциальная случайная величина:

${\begin{aligned}E(\delta )=-\delta ^{-1}\ln(R(0,1))\end{aligned}}$

где R(0,1) — равномерная случайная величина в интервале [0,1]. Используя эти два, мы можем получить случайную величину для распределения MLP:

${\begin{aligned}M(\mu _{0},\sigma _{0},\alpha )=\exp(\mu _{0}+\sigma _{0}N(0,1)-\alpha ^{-1}\ln(R(0,1)))\end{aligned}}$

Ссылки

1. Басу, Шантану; Гил, М; Одди, Саятан (1 апреля 2015 г.). «Распределение MLP: модифицированная логнормальная степенная модель для начальной функции массы звезды». МНРАС . 449 (3): 2413–2420. arXiv : 1503.00023 . Бибкод : 2015MNRAS.449.2413B . дои : 10.1093/mnras/stv445 .