Приближение Стокса и искусственное время

В этой статье представлен анализ ошибок дискретизации по времени, применяемой для пространственно дискретной аппроксимации стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса . Нелинейность члена конвекции является основной проблемой при решении стационарного или нестационарного уравнения Навье-Стокса или задач уравнения Эйлера . Сток применил «метод искусственной сжимаемости» для решения этих проблем.

Уравнение Навье-Стокса

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

Приближение Стокса

Приближение Стокса развивается на основе уравнений Навье-Стокса путем исключения конвективного члена. Для малых чисел Рейнольдса в несжимаемом потоке это приближение более полезно. Тогда несжимаемое уравнение Навье-Стокса можно записать как:

                 $R_{e}.\partial _{t}{\tilde {u}}+R_{e}.\left\langle {\tilde {u}},{\tilde {\nabla }}\right\rangle {\tilde {u}}+R_{e}.\nabla {\tilde {p}}-{\tilde {\Delta }}{\tilde {u}}=0$.

Здесь член линейной диффузии доминирует над членом конвекции.В стационарной задаче без учета конвекционного члена получаем:

                   $R_{e}.\nabla p-\Delta u=0$

С помощью этого процесса можно доказать многие теоремы.Основная проблема при решении уравнения течения несжимаемой жидкости - это разделение уравнений неразрывности и количества движения из-за отсутствия члена давления или плотности. Хорин предложил решение проблемы развязки давления; этот подход называется искусственной сжимаемостью.

               $\partial _{t}\psi -L[\psi ]=0{\text{ where }}\psi =(u_{1},u_{2},u_{3},p)^{T}$

В приведенном выше уравнении Стокса предположим, что нестационарная задача Навье Стокса сходится к решению соответствующей стационарной задачи. Это решение не будет зависеть от функции.Если это использовать для приведенного выше уравнения, состоящего из уравнения Навье-Стокса и уравнений неразрывности с производной давления по времени, то решение будет таким же, как стационарное решение исходной задачи Навье-Стокса.Этот процесс также вводит новый термин «искусственное время» при t→∞. Метод искусственной сжимаемости сочетается с процедурой двойного шага по времени, которая включает итерацию в псевдовремени в пределах каждого физического шага по времени. Это гарантирует сходимость к решению задачи о течении несжимаемой жидкости.

Ссылки

Ансорж Р. Математические модели гидродинамики.

Внешние ссылки

• Мэдсен, Пенсильвания; Шеффер, HA (2006). «Обсуждение искусственной сжимаемости». Береговая инженерия . 53 : 93–98. doi : 10.1016/j.coastaleng.2005.09.020 .
• https://books.google.com/books?isbn=3527627979