Дисперсия групповой скорости

В оптике , чаще всего используемая для определения того , дисперсия групповой скорости (ДГС) — это характеристика дисперсионной среды как среда влияет на длительность проходящего через нее оптического импульса. Формально ДГС определяется как производная обратной групповой скорости света в материале по угловой частоте ,

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},$

где $\omega$ и $\omega _{0}$ — угловые частоты, а групповая скорость $v_{g}(\omega )$ определяется как $v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k$. Единицами дисперсии групповой скорости являются [время] ² /[расстояние], часто выражается в фс ² / мм .

Эквивалентно, дисперсия групповой скорости может быть определена через зависящий от среды волновой вектор $k(\omega )$ в соответствии с

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},$

или через показатель преломления $n(\omega )$ в соответствии с

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.$

Приложения

Дисперсия групповой скорости чаще всего используется для оценки количества чирпа , который будет наложен на импульс света после прохождения через интересующий материал:

${\text{chirp}}=({\text{material thickness}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{bandwidth}}).$

Вывод

Простую иллюстрацию того, как GVD можно использовать для определения чирпа импульса, можно увидеть, рассмотрев эффект импульса с ограниченным преобразованием длительностью $\sigma$ проходя через плоскую среду толщиной d . Перед прохождением через среду фазовые сдвиги всех частот выравниваются во времени, и импульс можно описать как функцию времени:

$E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},$

или, что эквивалентно, как функция частоты,

$E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}$

(параметры A и B являются константами нормировки).Прохождение через среду приводит к частотно-зависимому накоплению фазы. $\Delta \phi (\omega )=k(\omega )d$, так что постсредний импульс можно описать формулой

$E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.$

В целом показатель преломления $n(\omega )$, и, следовательно, волновой вектор $k(\omega )=n(\omega )\omega /c$, может быть произвольной функцией $\omega$, что затрудняет аналитическое выполнение обратного преобразования Фурье во временную область. Однако, если полоса пропускания импульса узка относительно кривизны $n$, то хорошие аппроксимации влияния показателя преломления можно получить, заменив $k(\omega )$ с расширением Тейлора, сосредоточенным вокруг $\omega _{0}$:

${\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots$

Усечение этого выражения и вставка его в выражение пост-средней частотной области приводит к получению пост-среднего выражения во временной области.

$E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(t-k'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.$

В итоге импульс удлиняется до стандартного отклонения значения интенсивности, равного

$\sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},$

таким образом проверяя исходное выражение. Обратите внимание, что импульс , ограниченный преобразованием, имеет $\sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2$, что позволяет определить 1/(2 σ _t ) как полосу пропускания.

Альтернативный вывод

Альтернативный вывод взаимосвязи между чирпом импульса и ДГС, который более наглядно иллюстрирует причину, по которой ДГД можно определить через производную обратной групповой скорости, можно обрисовать в общих чертах следующим образом. Рассмотрим два ограниченных преобразованием импульса несущих частот. $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$, которые изначально перекрываются во времени. После прохождения через среду эти два импульса будут иметь временную задержку между соответствующими центрами огибающих импульса, определяемую выражением

$\Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).$

Выражение можно аппроксимировать как разложение Тейлора , что дает

$\Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),$

или

$\Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).$

Отсюда можно представить масштабирование этого выражения от двух импульсов до бесконечного числа. Разница частот $\omega _{2}-\omega _{1}$ должна быть заменена пропускной способностью и временной задержкой $\Delta T$ превращается в индуцированный чирп.

Дисперсия групповой задержки

Тесно связанной, но независимой величиной является дисперсия групповой задержки ( GDD ), определяемая таким образом, что дисперсия групповой скорости представляет собой дисперсию групповой задержки на единицу длины. GDD обычно используется в качестве параметра при характеристике слоистых зеркал, где дисперсия групповой скорости не особенно четко определена, однако чирп, возникающий после отражения от зеркала, может быть хорошо охарактеризован. Единицами дисперсии групповой задержки являются [время] ² , часто выражается в fs ² .

Дисперсия групповой задержки (ГРЗ) оптического элемента представляет собой производную групповой задержки по угловой частоте , а также вторую производную оптической фазы:

$D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.$

Это мера хроматической дисперсии элемента. GDD связан с параметром полной дисперсии $D_{\text{tot}}$ как

$D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.$

Внешние ссылки

• Онлайн-база данных показателей преломления
• Энциклопедия фотоники RP
• Коммерческое измерение оптической дисперсии с помощью интерферометрии белого света