Закон ноля-единицы Хьюитта-Сэвиджа

— Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа это теорема теории вероятностей , аналогичная закону нуля-единицы Колмогорова и лемме Бореля-Кантелли , которая указывает, что событие определенного типа либо почти наверняка произойдет, либо почти наверняка не произойдет. Его иногда называют законом Сэвиджа-Хьюитта для симметричных событий . Он назван в честь Эдвина Хьюитта и Леонарда Джимми Сэвиджа .

Формулировка закона нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа

Позволять $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ быть последовательностью независимых и одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в наборе $\mathbb {X}$. Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа гласит, что любое событие, появление или ненаступление которого определяется значениями этих случайных величин и появление или ненаступление которого не изменяется при конечных перестановках индексов, имеет вероятность либо 0, либо 1 ( «конечная» перестановка — это та, которая оставляет фиксированными все индексы, кроме конечного числа).

Несколько более абстрактно определите сменную сигма-алгебру или сигма-алгебру симметричных событий. ${\mathcal {E}}$ быть набором событий (в зависимости от последовательности переменных $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$), инвариантные относительно конечных перестановок индексов последовательности $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$. Затем $A\in {\mathcal {E}}\implies \mathbb {P} (A)\in \{0,1\}$.

Поскольку любую конечную перестановку можно записать как произведение транспозиций , если мы хотим проверить, произошло ли событие $A$ симметричен (лежат в ${\mathcal {E}}$), достаточно проверить, не изменилось ли его появление при произвольной транспозиции $(i,j)$, $i,j\in \mathbb {N}$.

Примеры

Пример 1

Пусть последовательность $\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ независимых и одинаково распределенных случайных величин принимают значения в $[0,\infty )$. Тогда событие, в котором ряд $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ сходится (к конечному значению) является симметричным событием в ${\mathcal {E}}$, поскольку его возникновение не меняется при транспозициях (при конечном переупорядочении сходимость или расхождение ряда — и, более того, числовое значение самой суммы — не зависит от порядка сложения членов). Таким образом, ряд либо почти наверняка сходится, либо почти наверняка расходится. Если мы дополнительно предположим, что общее ожидаемое значение $\mathbb {E} [X_{n}]>0$ (что по сути означает, что $\mathbb {P} (X_{n}=0)<1$ из-за неотрицательности случайных величин), мы можем заключить, что

$\mathbb {P} \left(\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}=+\infty \right)=1,$

т.е. ряд почти наверняка расходится. Это особенно простое применение закона нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа. Во многих ситуациях может быть легко применить закон Хьюитта-Сэвиджа «ноль-единица», чтобы показать, что некоторое событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.

Пример 2

Продолжая предыдущий пример, определите

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n},$

что является позицией на шаге N случайного блуждания с iid приращениями X _n . Событие { S _N = 0 бесконечно часто} инвариантно относительно конечных перестановок. Следовательно, применим закон нуля-единицы, и можно сделать вывод, что вероятность случайного блуждания с реальными приращениями iid, бесконечно часто посещающего начало координат, равна либо единице, либо нулю. Посещение начала координат бесконечно часто является хвостовым событием по отношению к последовательности ( SN _{здесь напрямую не} ), но SN _закон не являются независимыми, и поэтому нуля-единицы Колмогорова применим.