Изолирующее соседство

В теории динамических систем изолирующая окрестность — компакт в фазовом пространстве обратимой динамической системы, обладающий тем свойством, что любая орбита, целиком содержащаяся в этом множестве, принадлежит ее внутренности . Это основное понятие в теории индекса Конли . Его вариант для необратимых систем используется при формулировке точного математического определения аттрактора .

Определение

Теория индекса Конли

Пусть X — фазовое пространство обратимой дискретной или непрерывной динамической системы с оператором эволюции

$F_{t}:X\to X,\quad t\in \mathbb {Z} ,\mathbb {R} .$

Компактное подмножество N называется изолирующей окрестностью , если

$\operatorname {Inv} (N,F):=\{x\in N:F_{t}(x)\in N{\ }{\text{for all }}t\}\subseteq \operatorname {Int} \,N,$

Int N — внутренняя часть N. где Множество Inv( N , F ) состоит из всех точек, траектория которых остается в N для всех положительных и отрицательных моментов времени. Множество S называется изолированным (или локально максимальным) инвариантным множеством если S = ​​Inv( N , F ) для некоторой изолирующей окрестности N. ,

Определение аттрактора Милнора

Позволять

$f:X\to X$

быть (необратимой) дискретной динамической системой. Компактное инвариантное множество A называется изолированным с (прямой) изолирующей окрестностью N, если A является пересечением прямых образов N и, более того, A содержится внутри N :

$A=\bigcap _{n\geq 0}f^{n}(N),\quad A\subseteq \operatorname {Int} \,N.$

Не предполагается , что множество N инвариантно или открыто.

См. также

• Установлен лимит

Ссылки

• Константин Мишайков, Мариан Мрозек, индекс Конли . Глава 9 в «Справочнике по динамическим системам» , том 2, стр. 393–460, Elsevier, 2002 г. ISBN   978-0-444-50168-4
• Джон Милнор (ред.). «Аттрактор» . Схоларпедия .