Класс Жевре

В математике классы Жевре в области $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$, представленный Морисом Жевре , являются пространствами функций «между» пространством аналитических функций $C^{\omega }(\Omega )$ и пространство гладких (бесконечно дифференцируемых) функций $C^{\infty }(\Omega )$. В частности, для $\sigma \geq 1$, класс Жевре $G^{\sigma }(\Omega )$, состоит из тех гладких функций $g\in C^{\infty }(\Omega )$ такая, что для любого компактного подмножества $K\Subset \Omega$ существует константа $C$, в зависимости только от $g,K$, такой, что

$\sup _{x\in K}|D^{\alpha }g(x)|\leq C^{|\alpha |+1}|\alpha !|^{\sigma }\quad \forall \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}$

Где $D^{\alpha }$ обозначает частную производную порядка $\alpha$ (см. многоиндексное обозначение ).

Когда $\sigma =1$, $G^{\sigma }(\Omega )$ совпадает с классом аналитических функций $C^{\omega }(\Omega )$, но для $\sigma >1$ существуют финитные функции, не равные тождественному нулю (невозможность в в классе $C^{\omega }$). Именно в этом смысле они интерполируют между $C^{\omega }$ и $C^{\infty }$. Классы Жевре находят применение при обсуждении гладкости решений некоторых уравнений в частных производных: Жевре первоначально сформулировал это определение при исследовании однородного уравнения теплопроводности, решения которого находятся в $G^{2}(\Omega )$.

Приложение

Функции Жевре используются в технике управления для планирования траектории. Типичным примером является функция

$\Phi _{\omega ,T}(t)={\begin{cases}0&t\leq 0,\\1&t\geq T,\\{\frac {\int _{0}^{t}\Omega _{\omega ,T}(\tau )d\tau }{\int _{0}^{T}\Omega _{\omega ,T}(\tau )d\tau }}&t\in (0,T)\end{cases}}$

с

$\Omega _{\omega ,T}(t)={\begin{cases}0&t\notin [0,T],\\\exp \left({\frac {-1}{\left([1-{\frac {t}{T}}]~{\frac {t}{T}}\right)^{\omega }}}\right)&t\in (0,T)\end{cases}}$

и Гевре заказывают $\alpha =1+{\frac {1}{\omega }}.$

См. также

• Теорема Данжуа – Карлемана