Параметризация Юлы – Кучеры

В теории управления параметризация Юлы -Кучеры (также известная как Юлы параметризация ) представляет собой формулу, которая описывает все возможные стабилизирующие регуляторы с обратной связью для данного объекта как функцию одного параметра Q. P

Подробности

Параметризация YK является общим результатом. Это фундаментальный результат теории управления, который положил начало совершенно новой области исследований и нашел применение, среди прочего, в оптимальном и устойчивом управлении. ^[1] Инженерное значение формулы YK состоит в том, что если кто-то хочет найти стабилизирующий регулятор, удовлетворяющий какому-либо дополнительному критерию, можно отрегулировать параметр Q так, чтобы выполнялся желаемый критерий.

Для простоты понимания, как предложил Кучера, лучше всего описать три все более общих вида растений.

Стабильный завод SISO

Позволять $P(s)$ быть передаточной функцией стабильной системы с одним входом и одним выходом (SISO). Далее, пусть $\Omega$ представляет собой набор устойчивых и собственных функций $s$ . Тогда набор всех правильных стабилизирующих регуляторов для объекта $P(s)$ может быть определен как

\left\{{\frac {Q(s)}{1-P(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}

,

где $Q(s)$ — произвольная собственная и устойчивая функция от s . Можно сказать, что $Q(s)$ параметризует все стабилизирующие контроллеры установки $P(s)$ .

Генеральный завод СИСО

Рассмотрим обычный объект с передаточной функцией $P(s)$ . Кроме того, передаточную функцию можно факторизовать как

P(s)={\frac {N(s)}{M(s)}}

, где

M(s)

,

N(s)

являются устойчивыми и собственными функциями s .

Теперь решите тождество Безу формы

$\mathbf {N(s)Y(s)} +\mathbf {M(s)X(s)} =\mathbf {1}$ ,

где переменные, которые нужно найти $(X(s),Y(s))$ также должно быть правильным и стабильным.

После правильного и стабильного $X,Y$ найдены, мы можем определить один стабилизирующий регулятор вида $C(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$ . После того, как у нас под рукой будет один стабилизирующий контроллер, мы можем определить все стабилизирующие контроллеры с помощью параметра $Q(s)$ это правильно и стабильно. Набор всех стабилизирующих регуляторов определяется как

\left\{{\frac {Y(s)+M(s)Q(s)}{X(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}

.

Генеральный завод МИМО

В системе с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO) рассмотрим матрицу передачи $\mathbf {P(s)}$ . Его можно факторизовать с помощью правильных взаимно простых множителей. $\mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)}$ или левые факторы $\mathbf {P(s)={\tilde {D}}^{-1}(s){\tilde {N}}(s)}$ . Факторы должны быть правильными, устойчивыми и дважды взаимно простыми, что обеспечивает $\mathbf {P(s)}$ является контролируемым и наблюдаемым. Это можно записать тождеством Безу в виде:

\left[{\begin{matrix}\mathbf {X} &\mathbf {Y} \\-\mathbf {\tilde {N}} &{\mathbf {\tilde {D}} }\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {D} &-\mathbf {\tilde {Y}} \\\mathbf {N} &{\mathbf {\tilde {X}} }\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\mathbf {I} &0\\0&\mathbf {I} \\\end{matrix}}\right]

.

После нахождения $\mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}}$ которые устойчивы и правильны, мы можем определить набор всех стабилизирующих регуляторов $\mathbf {K(s)}$ использование левого или правого фактора при наличии отрицательной обратной связи.

{\begin{aligned}&\mathbf {K(s)} ={{\left(\mathbf {X} -\mathbf {\Delta {\tilde {N}}} \right)}^{-1}}\left(\mathbf {Y} +\mathbf {\Delta {\tilde {D}}} \right)\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y}} +\mathbf {D\Delta } \right){{\left(\mathbf {\tilde {X}} -\mathbf {N\Delta } \right)}^{-1}}\end{aligned}}

где $\Delta$ – произвольный устойчивый и собственный параметр.

Позволять $P(s)$ — передаточная функция объекта и пусть $K_{0}(s)$ быть стабилизирующим регулятором. Пусть их правые взаимно простые факторизации будут:

\mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}

\mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}

тогда все стабилизирующие регуляторы можно записать в виде

\mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}

где $Q$ является стабильным и правильным. ^[2]

Ссылки

^ В. Кучера. Метод обучения параметризации всех стабилизирующих регуляторов. 18-й Всемирный конгресс МФБ. Италия, Милан, 2011. [1]
^ Селье: Конспект лекций по численным методам управления, гл. 24

Д.С. Юла, Х.А. Джабр, Дж.Дж. Бонджорно: Современный проект Винера-Хопфа оптимальных контроллеров: часть II, IEEE Trans. Автомат. Contr., AC-21 (1976), стр. 319–338.
В. Кучера: Устойчивость дискретных систем с линейной обратной связью. В: Материалы 6-й конференции IFAC. Всемирный конгресс, Бостон, Массачусетс, США (1975).
К.А. Дезоер, Р.-В. Лю, Дж. Мюррей, Р. Саекс. Проектирование системы обратной связи: подход дробного представления к анализу и синтезу. IEEE Транс. Автомат. Contr., AC-25 (3), (1980), стр. 399–412.
Джон Дойл, Брюс Фрэнсис, Аллен Танненбаум. Теория управления с обратной связью. (1990). [2]

[1] В. Кучера. Метод обучения параметризации всех стабилизирующих регуляторов. 18-й Всемирный конгресс МФБ. Италия, Милан, 2011. [1]

[2] Селье: Конспект лекций по численным методам управления, гл. 24

[1]

[2]