Хаусдорф разрыв

В математике разрыв Хаусдорфа состоит примерно из двух наборов последовательностей целых чисел, так что между этими двумя наборами нет никакой последовательности. Первый пример нашел Хаусдорф ( 1909 ). Существование хаусдорфовых пробелов показывает, что частично упорядоченный набор возможных скоростей роста последовательностей не является полным.

Определение

Позволять $\omega ^{\omega }$ быть набором всех последовательностей неотрицательных целых чисел и определить $f<g$ означать $\lim \left(g(n)-f(n)\right)=+\infty$.

Если $X$ является частично упорядоченным набором и $\kappa$ и $\lambda$ являются кардиналами, то $(\kappa ,\lambda )$- предварительный разрыв в $X$ это набор элементов $f_{\alpha }$ для $\alpha \in \kappa$ и набор элементов $g_{\beta }$ для $\beta \in \lambda$ такой, что:

• Трансфинитная последовательность $f$ строго возрастает;
• Трансфинитная последовательность $g$ строго убывает;
• Каждый элемент последовательности $f$ меньше любого элемента последовательности $g$.

Предзазор называется пробелом, если он удовлетворяет дополнительному условию:

• Нет элемента $h$ больше, чем все элементы $f$ и меньше, чем все элементы $g$.

Хаусдорфовский разрыв – это $(\omega _{1},\omega _{1})$-пробел в $\omega ^{\omega }$ такая, что для каждого счетного ординала $\alpha$ и каждое натуральное число $n$ существует только конечное число $\beta$ меньше, чем $\alpha$ такой, что для всех $k>n$ у нас есть $f_{\alpha }(k)<g_{\beta }(k)$.

Существуют некоторые варианты этих определений с упорядоченным набором $\omega ^{\omega }$ заменен на аналогичный комплект. Например, можно переопределить $f<g$ означать $f(n)<g(n)$ для всех, кроме конечного числа $n$. Другой вариант, предложенный Хаусдорфом (1936), заключается в замене $\omega ^{\omega }$ по множеству всех подмножеств $\omega$, с порядком, заданным $A<B$ если $A$ имеет лишь конечное число элементов, не входящих в $B$ но $B$ имеет бесконечно много элементов, не входящих в $A$.

Существование

В ZFC можно доказать, что существуют хаусдорфовы пробелы и $(b,\omega )$-пробелы, где $b$ — мощность наименьшего неограниченного множества в $\omega ^{\omega }$, и что их нет $(\omega ,\omega )$-пробелы. Более сильная аксиома открытой раскраски может исключить все типы пробелов, кроме пробелов Хаусдорфа и пробелов типа $(\kappa ,\omega )$ с $\kappa \geq \omega _{2}$.

Ссылки

• Каротенуто, Джемма (2013), Введение в OCA (PDF) , конспекты лекций Маттео Виале
• Рышард, Франкевич; Павел, Зберский (1994), Пробелы и пределы Хаусдорфа , Исследования по логике и основам математики, том. 132, Амстердам: Издательство Северной Голландии, ISBN  0-444-89490-Х , МР   1311476
• Хаусдорф, Ф. (1909), Выпуск по выпускному курсу , трактаты Королевского саксонского общества наук в Лейпциге, том. 31, Б. Г. Тойбнер, стр. 296–334.
• Хаусдорф, Ф. (1936), «Summen von ℵ ₁ Mengen» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 26 (1), Институт математики Польской академии наук: 241–255, doi : 10.4064/fm-26-1-241 -255 , ISSN   0016-2736
• Шиперс, Мэрион (1993), «Пробелы в ω ^ой " , в Иудее, Хаим (ред.), Теория множеств действительных чисел (Рамат-Ган, 1991) , Израильская математическая конференция, т. 6, Рамат-Ган: Университет Бар-Илана, стр. 439–561, ISBN  978-9996302800 , МР   1234288

Внешние ссылки

• «Разрыв Хаусдорфа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]