Численный метод

В численном анализе численный метод — это математический инструмент, предназначенный для решения численных задач. Реализация численного метода с соответствующей проверкой сходимости на языке программирования называется численным алгоритмом.

Математическое определение [ править ]

Позволять $F(x,y)=0$ быть корректно поставленной задачей , т.е. $F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ это реальная или сложная функциональная связь, определенная в векторном произведении набора входных данных. $X$ и набор выходных данных $Y$ , такая, что существует локально липшицева функция $g:X\rightarrow Y$ называется резольвентой , которая обладает свойством, заключающимся в том, что для каждого корня $(x,y)$ из $F$ , $y=g(x)$ . Определим численный метод аппроксимации $F(x,y)=0$ , последовательность задач

\left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },

с $F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R}$ , $x_{n}\in X_{n}$ и $y_{n}\in Y_{n}$ для каждого $n\in \mathbb {N}$ . Проблемы, из которых состоит метод, не обязательно должны быть корректно поставленными. Если это так, то метод называется устойчивым или корректным . ^[1]

Консистенция [ править ]

Необходимые условия для эффективного приближения численного метода $F(x,y)=0$ это что $x_{n}\rightarrow x$ и это $F_{n}$ ведет себя как $F$ когда $n\rightarrow \infty$ . Итак, численный метод называется непротиворечивым тогда и только тогда, когда последовательность функций $\left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ поточечно сходится к $F$ на съемочной площадке $S$ из его решений:

\lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.

Когда $F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N}$ на $S$ метод называется строго последовательным . ^[1]

Конвергенция [ править ]

Обозначим через $\ell _{n}$ последовательность допустимых возмущений $x\in X$ для некоторого численного метода $M$ (т.е. $x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N}$ ) и с $y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}$ значение такое, что $F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0$ . Условие, которому должен удовлетворять метод, чтобы быть значимым инструментом решения проблемы. $F(x,y)=0$ это конвергенция :

{\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}

Легко доказать, что поточечная сходимость $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ к $y$ подразумевает, что сходимость соответствующего метода является функцией. ^[1]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Квартерони, Сакко, Салери (2000). Численная математика (PDF) . Милан: Спрингер. п. 33. Архивировано из оригинала (PDF) 14 ноября 2017 г. Проверено 27 сентября 2016 г. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[quartsaccsal-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Квартерони, Сакко, Салери (2000). Численная математика (PDF) . Милан: Спрингер. п. 33. Архивировано из оригинала (PDF) 14 ноября 2017 г. Проверено 27 сентября 2016 г. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1]