Изюминка сорта

В математике k - многообразие Скорца — это гладкое проективное многообразие максимальной размерности среди тех, чьи k -1 секущие многообразия не являются всем проективным пространством. Сорта Скорца были представлены и классифицированы Заком ( 1993 ), который назвал их в честь Гаэтано Скорца . Особый случай разновидностей 2-Скорца иногда называют разновидностями Севери , в честь Франческо Севери .

Классификация

Зак показал, что k -многообразия Скорца являются проективными многообразиями матриц ранга 1 ранга k простых йордановых алгебр .

Севери сорта

Многообразия Севери — это неособые многообразия размерности n (четной) в P ^Н которое можно изоморфно спроектировать на гиперплоскость и удовлетворять условиям N =3 n /2+2.

• Севери показал в 1901 году, что единственным многообразием Севери с n = 2 является поверхность Веронезе в P ⁵ .
• Единственное многообразие Севери с = 4 — это вложение Сегре P n ² × P ² в П ⁸ , найденный Скорца в 1908 году.
• Единственное многообразие Сегре с n =8 — это 8-мерный грассманиан G (1,5) прямых из P ⁵ встроен в P ¹⁴ , найденный Джоном Гринлисом Семплом в 1931 году.
• Единственное многообразие Севери с n =16 — это 16-мерное многообразие E ₆ / Spin (10) U (1) в P ²⁶ найден Робертом Лазарсфельдом в 1981 году.

Эти 4 многообразия Севери могут быть построены единым образом как орбиты групп, действующих на комплексификации эрмитовых матриц размера 3 на 3 над четырьмя вещественными (возможно, неассоциативными) телами алгебр размерности 2. ^к = 1, 2, 4, 8. Эти представления имеют комплексные размерности 3(2 ^к +1) = 6, 9, 15 и 27, что дает многообразия размерности 2. ^{к +1} = 2, 4, 8, 16 в проективных пространствах размерности 3(2 ^к )+2 = 5, 8, 14 и 26.

Зак доказал, что единственными разновидностями Севери являются перечисленные выше 4 размерности 2, 4, 8, 16.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1974), «Многообразия малой коразмерности в проективном пространстве» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 80 (6): 1017–1032, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13612-8 , ISSN   0002-9904 , МР   0384816
• Zak, F. L. (1981), "Projections of algebraic varieties", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 116(158) (4): 593–602, 608, ISSN  0368-8666 , MR  0665860
• Лазарсфельд, Роберт; Ван де Вен, Антониус (1984), Темы геометрии проективного пространства , Семинар DMV, том. 4, Биркхойзер Верлаг, номер номера : 10.1007/978-3-0348-9348-0 , ISBN.  978-3-7643-1660-0 , МР   0808175
• Zak, F. L. (1985), "Severi varieties", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 126(168) (1): 115–132, 144, ISSN  0368-8666 , MR  0773432
• Зак, Флорида (1993), Касательные и секансы алгебраических многообразий , Переводы математических монографий, том. 127, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4585-1 , МР   : 1234494