Система управления данными

Системы управления, управляемые данными, представляют собой широкое семейство систем управления , в которых идентификация модели процесса и/или конструкция контроллера полностью основана на экспериментальных данных, собранных на предприятии. ^[1]

Во многих приложениях управления попытка написать математическую модель установки считается сложной задачей, требующей усилий и времени от инженеров-технологов и специалистов по управлению. Эта проблема решается с помощью методов, управляемых данными , которые подгоняют модель системы к собранным экспериментальным данным, выбирая ее в определенном классе моделей. Затем инженер по управлению может использовать эту модель для разработки подходящего контроллера для системы. Однако до сих пор сложно найти простую, но надежную модель физической системы, включающую только ту динамику системы, которая представляет интерес для характеристик управления. Методы прямого управления данными позволяют настраивать контроллер, принадлежащий заданному классу, без необходимости идентификации модели системы. Таким образом, можно также просто взвесить интересующую динамику процесса внутри функции затрат на управление и исключить те динамики, которые не представляют интереса.

Обзор

Стандартный подход к проектированию систем управления состоит из двух этапов:

Идентификация модели направлена на оценку номинальной модели системы. ${\widehat {G}}=G\left(q;{\widehat {\theta }}_{N}\right)$ , где $q$ — оператор единичной задержки (для представления передаточных функций в дискретном времени) и ${\widehat {\theta }}_{N}$ – вектор параметров $G$ идентифицированные на множестве $N$ данные. Затем валидация заключается в построении набора неопределенностей $\Gamma$ который содержит истинную систему $G_{0}$ на определенном уровне вероятности.
Проектирование контроллера направлено на поиск контроллера $C$ достижение стабильности замкнутого контура и достижение требуемой производительности с ${\widehat {G}}$ .

Типичные цели идентификации системы заключаются в том, чтобы иметь ${\widehat {G}}$ как можно ближе к $G_{0}$ , и иметь $\Gamma$ как можно меньше. Однако с точки зрения идентификации для управления , что действительно важно, так это производительность, достигнутая контроллером, а не внутреннее качество модели.

Один из способов справиться с неопределенностью — разработать контроллер, который будет иметь приемлемые характеристики для всех моделей. $\Gamma$ , включая $G_{0}$ . Это основная идея процедуры проектирования надежного управления , целью которой является создание описания неопределенности процесса в частотной области. Однако, поскольку этот подход основан на предположениях наихудшего случая, а не на идее усреднения шума, он обычно приводит к консервативным наборам неопределенностей. Скорее, методы, основанные на данных, справляются с неопределенностью, работая с экспериментальными данными и избегая чрезмерного консерватизма.

Ниже представлены основные классификации систем управления, управляемых данными.

Косвенные и прямые методы

Существует множество методов управления системами. Фундаментальное различие заключается между косвенными и прямыми методами проектирования контроллера. В первой группе методов по-прежнему сохраняется стандартный двухэтапный подход, т.е. сначала идентифицируется модель, затем на основе этой модели настраивается контроллер. Основная проблема при этом заключается в том, что контроллер вычисляется на основе предполагаемой модели. ${\widehat {G}}$ (согласно принципу эквивалентности достоверности ), но на практике ${\widehat {G}}\neq G_{0}$ . Чтобы преодолеть эту проблему, идея последней группы методов состоит в том, чтобы отобразить экспериментальные данные непосредственно на контроллере без какой-либо промежуточной идентификации модели.

Итерационные и неитеративные методы

Еще одно важное различие — между итеративными и неитеративными (или однократными ) методами. В первой группе для оценки параметров регулятора необходимы повторные итерации, в ходе которых задача оптимизации выполняется на основе результатов предыдущей итерации, и ожидается, что оценка будет становиться все более точной на каждой итерации. Этот подход также может быть реализован в режиме онлайн (см. ниже). В последней группе (оптимальная) параметризация регулятора обеспечивается одной оптимизационной задачей. Это особенно важно для тех систем, в которых итерации или повторения экспериментов по сбору данных ограничены или даже не допускаются (например, из-за экономических аспектов). В таких случаях следует выбрать метод проектирования, позволяющий создать контроллер на одном наборе данных. Этот подход часто реализуется в автономном режиме (см. ниже).

Он-лайн и офф-лайн методы.

Поскольку в практических промышленных приложениях данные разомкнутого или замкнутого контура часто доступны постоянно, методы, основанные на данных , используют эти данные для улучшения качества идентифицированной модели и/или производительности контроллера каждый раз, когда появляется новая информация. собирается на заводе. Вместо этого автономные подходы работают с пакетами данных, которые можно собирать только один или несколько раз через регулярный (но довольно длительный) интервал времени.

Итеративная настройка обратной связи

Метод итеративной настройки с обратной связью (IFT) был представлен в 1994 году. ^[2] начиная с наблюдения, что при идентификации управления каждая итерация основана на (неправильном) принципе эквивалентности достоверности.

IFT — это безмодельный метод прямой итеративной оптимизации параметров контроллера фиксированного порядка; такие параметры могут последовательно обновляться с использованием информации, поступающей в результате стандартной (замкнутой) работы системы.

Позволять $y^{d}$ быть желаемым выходным сигналом опорного сигнала $r$ ; ошибка между достигнутым и желаемым ответом равна ${\tilde {y}}(\rho )=y(\rho )-y^{d}$ . Цель разработки средств управления можно сформулировать как минимизацию целевой функции:

J(\rho )={\frac {1}{2N}}\sum _{t=1}^{N}E\left[{\tilde {y}}(t,\rho )^{2}\right].

Учитывая целевую функцию, которую необходимо минимизировать, можно применить метод квазиньютона , то есть минимизацию на основе градиента с использованием поиска градиента типа:

\rho _{i+1}=\rho _{i}-\gamma _{i}R_{i}^{-1}{\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}(\rho _{i}).

Значение $\gamma _{i}$ размер шага, $R_{i}$ является подходящей положительно определенной матрицей и ${\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}$ – аппроксимация градиента; истинное значение градиента определяется следующим образом:

{\frac {dJ}{d\rho }}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left[{\tilde {y}}(t,\rho ){\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )\right].

Стоимость ${\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )$ достигается с помощью следующей трехэтапной методики:

Обычный эксперимент: Проведите эксперимент в системе с замкнутым контуром с $C(\rho )$ в качестве контролера и $r$ в качестве ссылки; собрать N измерений выходных данных $y(\rho )$ , обозначенный как $y^{(1)}(\rho )$ .
Градиентный эксперимент. Проведите эксперимент в замкнутой системе с $C(\rho )$ в качестве контроллера и 0 в качестве ссылки $r$ ; подать сигнал $r-y^{(1)}(\rho )$ так, что он суммируется с выходной управляющей переменной по формуле $C(\rho )$ , идущий в качестве входных данных на завод. Соберите выходные данные, обозначенные как $y^{(2)}(\rho )$ .
В качестве градиентного приближения возьмем следующее: ${\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho )={\frac {\delta C}{\delta \rho }}(\rho )y^{(2)}(\rho )$ .

Решающим фактором для скорости сходимости алгоритма является выбор $R_{i}$ ; когда ${\tilde {y}}$ мала, хорошим выбором является приближение, заданное направлением Гаусса–Ньютона:

R_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}{\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho _{i}){\frac {\delta {\widehat {y}}^{T}}{\delta \rho }}(\rho _{i}).

Неитеративная настройка на основе корреляции

Неитеративная настройка на основе корреляции (nCbT) — это неитеративный метод управляемой данными настройки контроллера с фиксированной структурой. ^[3] Он предоставляет однократный метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

Предположим, что $G$ обозначает неизвестный завод SISO со стабильным LTI, $M$ определяемая пользователем эталонная модель и $F$ определяемая пользователем весовая функция. Контроллер фиксированного порядка LTI обозначается как $K(\rho )=\beta ^{T}\rho$ , где $\rho \in \mathbb {R} ^{n}$ , и $\beta$ — вектор базисных функций LTI. Окончательно, $K^{*}$ является идеальным контроллером LTI любой структуры, гарантирующим работу с обратной связью $M$ применительно к $G$ .

Цель состоит в том, чтобы минимизировать следующую целевую функцию:

J(\rho )=\left\|F{\bigg (}{\frac {K^{*}G-K(\rho )G}{(1+K^{*}G)^{2}}}{\bigg )}\right\|_{2}^{2}.

$J(\rho )$ представляет собой выпуклую аппроксимацию целевой функции, полученной из эталонной задачи модели, при условии, что ${\frac {1}{(1+K(\rho )G)}}\approx {\frac {1}{(1+K^{*}G)}}$ .

Когда $G$ является устойчивой и минимально-фазовой, то аппроксимированная эталонная задача модели эквивалентна минимизации нормы $\varepsilon (t)$ в схеме на рисунке.

Входной сигнал $r(t)$ предполагается, что это постоянно возбуждающий входной сигнал и $v(t)$ быть сгенерированы с помощью стабильного механизма генерации данных. Таким образом, эти два сигнала не коррелируют в эксперименте с разомкнутым контуром; следовательно, идеальная ошибка $\varepsilon (t,\rho ^{*})$ не коррелирует с $r(t)$ . Таким образом, цель контроля состоит в нахождении $\rho$ такой, что $r(t)$ и $\varepsilon (t,\rho ^{*})$ некоррелированы.

Вектор инструментальных переменных $\zeta (t)$ определяется как:

\zeta (t)=[r_{W}(t+\ell _{1}),r_{W}(t+\ell _{1}-1),\ldots ,r_{W}(t),\ldots ,r_{W}(t-\ell _{1})]^{T}

где $\ell _{1}$ достаточно велик и $r_{W}(t)=Wr(t)$ , где $W$ это подходящий фильтр.

Корреляционная функция:

f_{N,\ell _{1}}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\zeta (t)\varepsilon (t,\rho )

и задача оптимизации становится:

{\widehat {\rho }}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}f_{N,\ell _{1}}^{T}f_{N,\ell _{1}}.

Обозначая $\phi _{r}(\omega )$ спектр $r(t)$ , можно продемонстрировать, что при некоторых предположениях, если $W$ выбирается как:

W(e^{-j\omega })={\frac {F(e^{-j\omega })(1-M(e^{-j\omega }))}{\phi _{r}(\omega )}}

тогда имеет место следующее:

\lim _{N,\ell _{1}\to \infty ,\ell _{1}/N\to \infty }{\widehat {\rho }}=\rho ^{*}.

Ограничение стабильности

Нет никакой гарантии, что контроллер $K$ что сводит к минимуму $J_{N,\ell _{1}}$ является стабильным. Нестабильность может возникнуть в следующих случаях:

Если $G$ неминимальная фаза, $K^{*}$ может привести к отменам в правой полукомплексной плоскости.
Если $K^{*}$ (даже если стабилизация) недостижима, $K(\rho )$ может не стабилизироваться.
Из-за шума измерения, даже если $K^{*}=K(\rho )$ стабилизируется, по оценкам данных ${\widehat {K}}(\rho )$ может быть не так.

Рассмотрим стабилизирующий регулятор $K_{s}$ и передаточная функция замкнутого контура $M_{s}={\frac {K_{s}G}{1+K_{s}G}}$ .Определять:

\Delta (\rho ):=M_{s}-K(\rho )G(1-M_{s})

\delta (\rho ):=\left\|\Delta (\rho )\right\|_{\infty }.

Теорема

Контроллер $K(\rho )$ стабилизирует растение $G$ если

$\Delta (\rho )$ стабилен
$\exists \delta _{N}\in (0,1)$ ул. $\delta (\rho )\leq \delta _{N}.$

Условие 1. выполняется, когда:

$K(\rho )$ стабилен
$K(\rho )$ содержит интегратор (он отменен).

Эталонный проект модели с ограничением устойчивости выглядит следующим образом:

\rho _{s}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J(\rho )

{\text{s.t. }}\delta (\rho )\leq \delta _{N}.

Выпуклая основе данных оценка на $\delta (\rho )$ можно получить с помощью дискретного преобразования Фурье .

Определите следующее:

{\begin{aligned}&{\widehat {R}}_{r}(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )r(t){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}\\[4pt]&{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )\varepsilon (t,\rho ){\text{ for }}\tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}.\end{aligned}}

Для стабильных установок с минимальной фазой следующая задача выпуклой оптимизации, управляемой данными задана :

{\begin{aligned}{\widehat {\rho }}&={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )\\[3pt]&{\text{s.t.}}\\[3pt]&{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\leq \delta _{N}{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r}(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\\[4pt]\omega _{k}&={\frac {2\pi k}{2\ell _{2}+1}},\qquad k=0,\ldots ,\ell _{2}+1.\end{aligned}}

Виртуальная настройка обратной связи

Настройка виртуальной опорной обратной связи (VRFT) — это неитеративный метод управляемой данными настройки контроллера с фиксированной структурой. Он предоставляет однократный метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

VRFT был впервые предложен в ^[4] а затем распространился на системы LPV. ^[5] VRFT также опирается на идеи, изложенные в ^[6] как $VRD^{2}$ .

Основная идея состоит в том, чтобы определить желаемую модель замкнутого цикла. $M$ и использовать его обратную динамику для получения виртуальной ссылки $r_{v}(t)$ из измеренного выходного сигнала $y(t)$ .

Виртуальные сигналы $r_{v}(t)=M^{-1}y(t)$ и $e_{v}(t)=r_{v}(t)-y(t).$

Оптимальный регулятор получается из зашумленных данных путем решения следующей задачи оптимизации:

{\widehat {\rho }}_{\infty }={\underset {\rho }{\operatorname {arg\,min} }}\lim _{N\to \infty }J_{vr}(\rho )

где функция оптимизации задается следующим образом:

J_{vr}^{N}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(u(t)-K(\rho )e_{v}(t)\right)^{2}.

См. также

Ссылки

^ Базанелла А.С., Кампестрини Л., Экхард Д. (2012). Проектирование контроллера, управляемого данными: $H_{2}$ подход. Спрингер, ISBN 978-94-007-2300-9 , 208 страниц.
^ Хьялмарссон, Х. , Геверс, М., Гуннарссон, С. и Лекин, О. (1998). Настройка итеративной обратной связи: теория и приложения. Системы управления IEEE, 18(4), 26–41.
^ ван Хойсден, К., Карими, А. и Бонвин, Д. (2011), Управление эталоном модели на основе данных с асимптотически гарантированной стабильностью. Межд. Дж. Адаптируйся. Процесс управляющего сигнала., 25: 331–351. два : 10.1002/acs.1212
^ Кампи, Марко К., Андреа Леккини и Серджио М. Саварези. «Настройка виртуальной эталонной обратной связи: прямой метод проектирования контроллеров с обратной связью». Автоматика 38.8 (2002): 1337–1346.
^ Форментин С., Пига Д., Тот Р. и Саварези С.М. (2016). Прямое обучение контроллеров LPV на основе данных. Автоматика, 65, 98–110.
^ Гуардабасси, Гвидо О. и Серхио М. Саварези. «Приблизительная линеаризация нелинейных систем с дискретным временем с использованием обратной связи с использованием прямого проектирования виртуального входа». Системы и контрольные письма 32.2 (1997): 63–74.

Введение в системы управления, управляемые даннымиАли Хаки-Седиг

ISBN: 978-1-394-19642-5, ноябрь 2023 г., Wiley-IEEE Press, 384 страницы

Внешние ссылки

Набор инструментов VRFT для MATLAB

[1] Базанелла А.С., Кампестрини Л., Экхард Д. (2012). Проектирование контроллера, управляемого данными: $H_{2}$ подход. Спрингер, ISBN 978-94-007-2300-9 , 208 страниц.

[2] Хьялмарссон, Х. , Геверс, М., Гуннарссон, С. и Лекин, О. (1998). Настройка итеративной обратной связи: теория и приложения. Системы управления IEEE, 18(4), 26–41.

[3] ван Хойсден, К., Карими, А. и Бонвин, Д. (2011), Управление эталоном модели на основе данных с асимптотически гарантированной стабильностью. Межд. Дж. Адаптируйся. Процесс управляющего сигнала., 25: 331–351. два : 10.1002/acs.1212

[4] Кампи, Марко К., Андреа Леккини и Серджио М. Саварези. «Настройка виртуальной эталонной обратной связи: прямой метод проектирования контроллеров с обратной связью». Автоматика 38.8 (2002): 1337–1346.

[5] Форментин С., Пига Д., Тот Р. и Саварези С.М. (2016). Прямое обучение контроллеров LPV на основе данных. Автоматика, 65, 98–110.

[6] Гуардабасси, Гвидо О. и Серхио М. Саварези. «Приблизительная линеаризация нелинейных систем с дискретным временем с использованием обратной связи с использованием прямого проектирования виртуального входа». Системы и контрольные письма 32.2 (1997): 63–74.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]