Основной эффект

При планировании экспериментов и дисперсионном анализе основным эффектом является влияние независимой переменной на зависимую переменную, усредненное по уровням любых других независимых переменных. Этот термин часто используется в контексте факторных планов и регрессионных моделей, чтобы отличить основные эффекты от эффектов взаимодействия .

По сравнению с факторным планом, при дисперсионном анализе, тест основного эффекта проверит ожидаемые гипотезы, такие как H ₀ , нулевая гипотеза. Выдвижение гипотезы об основном эффекте позволит проверить, существуют ли доказательства эффекта различных методов лечения. Однако тест основного эффекта неспецифичен и не позволяет локализовать конкретные средние парные сравнения (простые эффекты). Тест на основной эффект просто проверит, есть ли в целом что-то в конкретном факторе, что имеет значение. Другими словами, это тест, изучающий различия между уровнями одного фактора (усреднение по другому фактору и/или факторам). Основные эффекты – это, по существу, общий эффект фактора.

Определение

Фактор, усредненный по всем остальным уровням воздействия других факторов, называется главным эффектом (также известным как предельный эффект). Контраст . фактора между уровнями по сравнению со всеми уровнями других факторов является основным эффектом Разница между маргинальными средними всех уровней фактора является основным эффектом переменной отклика на этот фактор. ^[1] Основные эффекты — это основные независимые переменные или факторы, проверяемые в эксперименте. ^[2] Главный эффект – это специфическое влияние фактора или независимой переменной независимо от других параметров эксперимента. ^[3] При планировании эксперимента его называют фактором, а в регрессионном анализе — независимой переменной.

Оценка основных эффектов

В факторных планах, то есть в факторном плане по два уровня каждого фактора А и В, можно вычислить основные эффекты двух факторов, скажем, А и В. Основной эффект A определяется выражением

$A={1 \over 2n}[ab+a-b-1]$

Основной эффект B определяется выражением

$B={1 \over 2n}[ab+b-a-1]$

Где n — общее количество повторов. Мы используем уровень фактора 1 для обозначения низкого уровня и уровень 2 для обозначения высокого уровня. Буква «a» представляет комбинацию факторов уровня 2 A и уровня 1 B, а «b» представляет комбинацию факторов уровня 1 A и уровня 2 B. «ab» представляет оба фактора на уровне 2. Наконец, 1 означает, что оба фактора установлены на уровень 1. ^[2]

Проверка гипотез для двустороннего факторного планирования.

Рассмотрим двусторонний факторный план, в котором фактор A имеет 3 уровня, а фактор B имеет 2 уровня только с 1 повтором. Имеется 6 процедур с 5 степенями свободы. в этом примере у нас есть две нулевые гипотезы. Первый фактор А: $H_{0}:\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0$ а второй для фактора B: $H_{0}:\beta _{1}=\beta _{2}=0$ . ^[4] Основной эффект фактора А можно вычислить с двумя степенями свободы. Это изменение суммируется суммой квадратов, обозначаемой термином SS _A . Аналогично, отклонение от фактора B можно рассчитать как SS _B с 1 степенью свободы. Ожидаемое значение среднего значения ответов в столбце i равно $\mu +\beta _{j}$ в то время как ожидаемое значение среднего значения ответов в строке j равно $\mu +\alpha _{i}$ где i соответствует уровню фактора в факторе A, а j соответствует уровню фактора в факторе B. $\alpha _{i}$ и $\beta _{j}$ являются основными эффектами. SS _A и SS _B представляют собой суммы квадратов главных эффектов. Две оставшиеся степени свободы можно использовать для описания вариации, возникающей в результате взаимодействия двух факторов, и их можно обозначить как SS _AB . ^[4] В таблице можно показать макет данного конкретного дизайна с основными эффектами (где $x_{ij}$ – это наблюдение i-го уровня фактора B и j-го уровня фактора A):

Факторный эксперимент 3x2
Фактор/Уровни	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{3}$
$\beta _{1}$	$x_{11}$	$x_{12}$	$x_{13}$
$\beta _{2}$	$x_{21}$	$x_{22}$	$x_{23}$

Пример

Возьмите $2^{2}$ факторный дизайн (2 уровня двух факторов) для проверки вкусового рейтинга жареной курицы в двух ресторанах быстрого питания. Пусть дегустаторы оценят курицу по шкале от 1 до 10 (наилучший вкус) по фактору X: «острость» и фактору Y: «хрустящая корочка». Уровень X1 — для «не острой» курицы, а X2 — для «острой» курицы. Уровень Y1 — для «нехрустящей» курицы, а уровень Y2 — для «хрустящей» курицы. Предположим, что пять человек (5 повторений) попробовали все четыре вида курицы и дали каждому оценку от 1 до 10. Представляют интерес следующие гипотезы: Фактор X: $H_{0}:X_{1}=X_{2}=0$ а для фактора Y: $H_{0}:Y_{1}=Y_{2}=0$ . Таблица гипотетических результатов приведена здесь:

(Реплики)
Комбинация факторов	я	II	III	IV	V	Общий
Не острый, не хрустящий (X1, Y1)	3	2	6	1	9	21
Не острый, хрустящий (X1, Y2)	7	2	4	2	8	23
Острый, но не хрустящий (X2, Y1)	5	5	6	1	8	25
Острый, Хрустящий (X2, Y2)	9	10	8	6	8	41

«Основной эффект» X (острота), когда мы находимся на уровне Y1 (не хрустящий), определяется как:

${\frac {[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{n}}$ где n — количество повторов. Аналогично, «Основной эффект» X в Y2 (хрустящий) определяется как:

${\frac {[X_{2}Y_{2}]-[X_{1}Y_{2}]}{n}}$ , после чего мы можем взять простое среднее этих двух значений, чтобы определить общий основной эффект фактора X, что приводит к приведенному выше результату.

формула, записанная здесь как:

$A=X={1 \over 2n}[ab+a-b-1]$ = ${\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{2}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n}}$

Аналогично, для Y общий основной эффект будет следующим: ^[5]

$B=Y={1 \over 2n}[ab+b-a-1]$ = ${\frac {[X_{2}Y_{2}]+[X_{1}Y_{2}]-[X_{2}Y_{1}]-[X_{1}Y_{1}]}{2n}}$

Для эксперимента с дегустацией курицы мы получим следующие основные эффекты :

$X:{\frac {[25]-[21]+[41]-[23]}{2*5}}=2.2$

$Y:{\frac {[41]-[25]+[23]-[21]}{2*5}}=1.8$

Ссылки

Макберни, Д.М., Уайт, Т.Л. (2004). Методы исследования . КА: Обучение Уодсворта.
Мук, Дуглас Г. (2001). Психологические исследования: идеи, лежащие в основе методов . Нью-Йорк: WW Norton & Company.

^ Кюль, Роберт (1999). План эксперимента: статистические принципы планирования и анализа исследований . Cengage Обучение. п. 178. ИСБН 9780534368340 .
^ Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Дуглас К. (1976). Планирование и анализ экспериментов . Уайли, 1976. с. 180. ИСБН 9780471614210 .
^ Коц, Джонсон (2005). энциклопедия статистических наук . п. 181. ИСБН 978-0-471-15044-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Олерт, Гэри (2010). Первый курс планирования и анализа экспериментов . п. 181. ИСБН 978-0-7167-3510-6 .
^ Монтгомери, Дуглас (2005). ПРОЕКТИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ . 6 место: Уайли и сыновья. стр. 205–206. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[1] Кюль, Роберт (1999). План эксперимента: статистические принципы планирования и анализа исследований . Cengage Обучение. п. 178. ИСБН 9780534368340 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Дуглас К. (1976). Планирование и анализ экспериментов . Уайли, 1976. с. 180. ИСБН 9780471614210 .

[3] Коц, Джонсон (2005). энциклопедия статистических наук . п. 181. ИСБН 978-0-471-15044-2 .

[:2-4] Jump up to: ^а ^б Олерт, Гэри (2010). Первый курс планирования и анализа экспериментов . п. 181. ИСБН 978-0-7167-3510-6 .

[5] Монтгомери, Дуглас (2005). ПРОЕКТИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ . 6 место: Уайли и сыновья. стр. 205–206. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]