Метод Ямартино

Метод Ямартино представляет собой алгоритм расчета аппроксимации круговой дисперсии направления ветра за один проход по входным данным.

Фон

Простой метод расчета круговой дисперсии требует двух проходов по списку значений. Первый проход определяет среднее значение этих значений, а второй проход определяет дисперсию. Этот метод двойного прохода требует доступа ко всем значениям.

Существует также однопроходный метод расчета стандартного отклонения, но этот метод непригоден для угловых данных, таких как направление ветра. Попытка вычислить угловые моменты, наивно применяя стандартные формулы к угловым выражениям, приводит к абсурдным результатам. Например, набор данных, измеряющий скорость ветра 1° и 359°, в среднем будет равен 180°, но выражение тех же данных как 1° и -1° (равное 359°) даст среднее значение 0°. Таким образом, мы определяем круговые моменты, помещая все измеренные углы на единичную окружность, а затем вычисляя моменты этих точек.

Метод Ямартино, предложенный Робертом Дж. Ямартино в 1984 году, решает обе проблемы. Дальнейшее обсуждение метода Ямартино, а также других методов оценки стандартного отклонения направления ветра можно найти у Фарруджиа и Микаллефа.

Точное стандартное отклонение можно рассчитать за один проход. Однако этот метод требует немного больше усилий по расчетам.

Алгоритм

За интервал времени, по которому будет усредняться, n измерений направления ветра ( θ будет выполнено ) и два итоговых значения будут накоплены без сохранения n отдельных значений. В конце интервала расчеты производятся следующим образом: при этом средние значения sin θ и cos θ определяются как

$s_{a}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\sin \theta _{i},$

$c_{a}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\cos \theta _{i}.$

Тогда среднее направление ветра определяется через четырехквадрантную функцию arctan(x,y) как

$\theta _{a}=\arctan(c_{a},s_{a}).$

Из двадцати различных функций для σ _θ с использованием переменных, полученных за один проход данных о направлении ветра, Ямартино нашел лучшую функцию:

$\sigma _{\theta }=\arcsin(\varepsilon )\left[1+\left({\tfrac {2}{\sqrt {3}}}-1\right)\varepsilon ^{3}\right],$

где

$\varepsilon ={\sqrt {1-(s_{a}^{2}+c_{a}^{2})}}.$

Главное здесь — помнить об этом грехе ² θ + потому что ² θ = 1, так что, например, при постоянном направлении ветра при любом значении θ значение $\varepsilon$ будет равно нулю, что приведет к нулевому значению стандартного отклонения.

Использование $\varepsilon$ дает результат, близкий к результату, полученному с помощью двойного прохода, когда дисперсия углов мала (не пересекает разрыв), но по конструкции он всегда находится между 0 и 1. Взятие арксинуса затем дает ответ двойного прохода, когда — это всего лишь два одинаково распространенных угла: в крайнем случае колеблющегося ветра, дующего взад и вперед, это дает результат ${\tfrac {\pi }{2}}$ радианы, то есть прямой угол . Последний коэффициент корректирует эту цифру вверх, так что она дает результат двойного прохода ${\tfrac {\pi }{\sqrt {3}}}$ радиан для почти равномерного распределения углов по всем направлениям с минимальными изменениями в результатах для небольших дисперсий.

Таким образом, теоретическая максимальная ошибка относительно правильного двойного прохода σ _θ составляет около 15% при колебательном ветре. Сравнение со случаями, сгенерированными методом Монте-Карло, показывает, что алгоритм Ямартино находится в пределах 2% для более реалистичных распределений.

Вариантом может быть взвешивание каждого наблюдения направления ветра по скорости ветра в данный момент.

См. также

• Алгоритмы расчета дисперсии
• Круговая дисперсия

Дальнейшее чтение

• PS Фарруджа и А. Микаллеф (2006). «Сравнительный анализ оценок стандартного отклонения направления ветра» . Метеорологические приложения . 13 (1): 29–41. Бибкод : 2006MeApp..13...29F . дои : 10.1017/S1350482705001982 .