Лемма Келли

В вероятностей теории лемма Келли утверждает, что для стационарной цепи Маркова с непрерывным временем процесс, определяемый как обращенный во времени процесс, имеет то же стационарное распределение, что и процесс в прямом времени. Теорема названа в честь Фрэнка Келли .

Заявление

Для цепи Маркова с непрерывным временем с пространством состояний S и матрицей скорости перехода Q (с элементами q _ij ), если мы можем найти набор неотрицательных чисел q' _ij и положительную меру π , которые удовлетворяют следующим условиям:

${\begin{aligned}\sum _{j\in S}q_{ij}&=\sum _{j\in S}q'_{ij}\quad \forall i\in S\\\pi _{i}q_{ij}&=\pi _{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S,\end{aligned}}$

тогда q' _ij — скорости обратного процесса, а π пропорционально стационарному распределению для обоих процессов.

Доказательство

Учитывая предположения, сделанные относительно q _ij и π, имеем

$\sum _{i\in S}\pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\in S}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\in S}q_{ji}=\pi _{j},$

таким образом, уравнения глобального баланса удовлетворяются, а мера π пропорциональна стационарному распределению исходного процесса. В силу симметрии тот же аргумент показывает, что π также пропорционально стационарному распределению обратного процесса.