Функция Прандтля – Мейера

Изменение функции Прандтля–Мейера ( $\nu$) с числом Маха ( $M$) и отношение удельной теплоемкости ( $\gamma$). Пунктирные линии показывают предельное значение $\nu _{\text{max}}$ поскольку число Маха стремится к бесконечности.

В аэродинамике функция Прандтля -Мейера описывает угол, на который поток изоэнтропически поворачивается от скорости звука (M = 1) до числа Маха (M), большего 1 . Максимальный угол, на который может быть повернут звуковой ( M = 1) поток вокруг выпуклого угла, рассчитывается для M = $\infty$. Для идеального газа это выражается следующим образом:

${\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\end{aligned}}$

где $\nu \,$ – функция Прандтля–Мейера, $M$ – число Маха потока и $\gamma$ – отношение удельных теплоемкостей .

Условно константа интегрирования выбирается такой, что $\nu (1)=0.\,$

Поскольку число Маха изменяется от 1 до $\infty$, $\nu \,$ принимает значения от 0 до $\nu _{\text{max}}\,$, где

$\nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}$

Для изоэнтропического расширения	$\nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,$
Для изоэнтропического сжатия	$\nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,$

где, $\theta$ – абсолютное значение угла поворота потока, $M$ — число Маха потока, а суффиксы «1» и «2» обозначают начальные и конечные условия соответственно.

См. также

• Газодинамика
• Расширительный вентилятор Прандтля – Мейера

Ссылки

• Липманн, Ганс В.; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газодинамики . Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-41963-3 .