Факторы трения Перрина

В гидродинамике представляют коэффициенты трения Перрена собой мультипликативные поправки к поступательному и вращательному трению твердого сфероида по отношению к соответствующим трениям в сферах того же объема. Эти коэффициенты трения были впервые рассчитаны Жаном-Батистом Перреном .

Эти факторы относятся к сфероидам (т. е. к эллипсоидам вращения), которые характеризуются соотношением осей p = (a/b) , определяемым здесь как осевая полуось a. (т.е. полуось вдоль оси вращения), разделенная экваториальной полуосью b . В вытянутых сфероидах соотношение осей p > 1 , поскольку осевая полуось длиннее экваториальных полуосей. И наоборот, в сплюснутых сфероидах отношение осей p < 1, поскольку осевая полуось короче экваториальных полуосей. Наконец, в сферах соотношение осей p = 1 , поскольку все три полуоси равны по длине.

Представленные ниже формулы предполагают граничные условия «прилипания» (а не «скольжения»), т. е. предполагается, что скорость жидкости равна нулю на поверхности сфероида.

Перрин S-фактор

Для краткости в приведенных ниже уравнениях мы определяем S-фактор Перрена . Для вытянутых сфероидов (т. е. сигарообразных сфероидов с двумя короткими осями и одной длинной осью)

$S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 2{\frac {\mathrm {atanh} \ \xi }{\xi }}$

где параметр $\xi$ определяется

$\xi \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sqrt {\left|p^{2}-1\right|}}{p}}$

Аналогично для сплюснутых сфероидов (т. е. сфероидов в форме диска с двумя длинными осями и одной короткой осью)

$S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 2{\frac {\mathrm {atan} \ \xi }{\xi }}$

Для сфер, $S=2$, как можно показать, взяв предел $p\rightarrow 1$ для вытянутых или сплюснутых сфероидов.

Коэффициент поступательного трения

Коэффициент трения произвольного сфероида объема $V$ равно

$f_{tot}=f_{sphere}\ f_{P}$

где $f_{sphere}$ - коэффициент поступательного трения сферы эквивалентного объема ( закон Стокса )

$f_{sphere}=6\pi \eta R_{eff}=6\pi \eta \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{(1/3)}$

и $f_{P}$ - коэффициент поступательного трения Перрена

$f_{P}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {2p^{2/3}}{S}}$

Коэффициент трения связан с константой диффузии D соотношением Эйнштейна

$D={\frac {k_{B}T}{f_{tot}}}$

Следовательно, $f_{tot}$ может быть измерена непосредственно с помощью аналитического ультрацентрифугирования или косвенно с использованием различных методов определения константы диффузии (например, ЯМР и динамического светорассеяния ).

Коэффициент трения вращения

Для обычного сфероида существуют два коэффициента трения вращения: один для вращения вокруг осевой полуоси (обозначается $F_{ax}$) и других для вращения вокруг одной из экваториальных полуосей (обозначается $F_{eq}$). Перрин показал, что

$F_{ax}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {4}{3}}\right){\frac {p^{2}-1}{2p^{2}-S}}$

$F_{eq}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {4}{3}}\right){\frac {(1/p)^{2}-p^{2}}{2-S\left[2-(1/p)^{2}\right]}}$

как для вытянутых, так и для сплюснутых сфероидов. Для сфер, $F_{ax}=F_{eq}=1$, в чем можно убедиться, взяв предел $p\rightarrow 1$.

Эти формулы могут быть численно нестабильными, когда $p\approx 1$, поскольку и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. $p\rightarrow 1$ предел. В таких случаях может быть лучше развернуть серию, например:

${\frac {1}{F_{ax}}}=1.0+\left({\frac {4}{5}}\right)\left({\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}\right)+\left({\frac {4\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {4\cdot 6\cdot 8}{5\cdot 7\cdot 9}}\right)\left({\frac {\xi ^{2}}{1+\xi ^{2}}}\right)^{3}+\ldots$

для сплюснутых сфероидов.

Постоянные времени вращательной релаксации

Коэффициенты вращательного трения редко наблюдаются непосредственно. Скорее, измеряется экспоненциальная вращательная релаксация(и) в ответ на ориентирующую силу (такую ​​как поток, приложенное электрическое поле и т. д.). Постоянная времени релаксации вектора осевого направления равна

$\tau _{ax}=\left({\frac {1}{k_{B}T}}\right){\frac {F_{eq}}{2}}$

тогда как для векторов экваториального направления

$\tau _{eq}=\left({\frac {1}{k_{B}T}}\right){\frac {F_{ax}F_{eq}}{F_{ax}+F_{eq}}}$

Эти постоянные времени могут существенно различаться, если соотношение осей $\rho$ значительно отклоняется от 1, особенно для вытянутых сфероидов. Экспериментальные методы измерения этих постоянных времени включают анизотропию флуоресценции , ЯМР , двойное лучепреломление потока и диэлектрическую спектроскопию .

Может показаться парадоксальным, что $\tau _{ax}$ включает в себя $F_{eq}$. Это возникает потому, что переориентация вектора осевого направления происходит за счет вращения вокруг перпендикулярных осей, т. е. вокруг экваториальных осей. Подобные рассуждения относятся и к $\tau _{eq}$.

Ссылки

• Кантор Ч.Р. и Шиммель PR. (1980) Биофизическая химия. Часть II. Методы изучения биологической структуры и функции , WH Freeman, с. 561-562.
• Кениг Ш. (1975) «Броуновское движение эллипсоида. Поправка к результатам Перрена». Биополимеры 14: 2421–2423.