Акима сплайн

В прикладной математике сплайн Акима — это тип несглаживающего сплайна , который хорошо подходит для кривых, где вторая производная быстро меняется. Сплайн Акима был опубликован Хироши Акимой в 1970 году в результате стремления Акимы создать кубическую сплайновую кривую, которая выглядела бы более естественной и гладкой, похожей на интуитивно нарисованную от руки кривую. Сплайн Акима стал предпочтительным алгоритмом для нескольких приложений компьютерной графики. Его преимущество перед кубической сплайновой кривой заключается в ее устойчивости по отношению к выбросам.

Метод

Учитывая набор «узловых» точек $(x_{i},y_{i})_{i=1\dots n}$, где $x_{i}$ строго возрастают, то сплайн Акима пройдет через каждую из заданных точек. В этих точках его наклон, $s_{i}$, является функцией расположения точек $(x_{i-2},y_{i-2})$ через $(x_{i+2},y_{i+2})$. В частности, если мы определим $m_{i}$ как наклон отрезка линии от $(x_{i},y_{i})$ к $(x_{i+1},y_{i+1})$, а именно

$m_{i}={\frac {y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}\,,$

тогда сплайн наклоняется $s_{i}$ определяются как следующие средневзвешенное значение $m_{i-1}$ и $m_{i}$,

$s_{i}={\frac {|m_{i+1}-m_{i}|m_{i-1}+|m_{i-1}-m_{i-2}|m_{i}}{|m_{i+1}-m_{i}|+|m_{i-1}-m_{i-2}|}}\,.$

Если знаменатель равен нулю, наклон определяется как

$s_{i}={\frac {m_{i-1}+m_{i}}{2}}\,.$

Первые два и два последних пункта требуют специального предписания, например,

$s_{1}=m_{1}\,,s_{2}={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\,,s_{n-1}={\frac {m_{n-2}+m_{n-1}}{2}}\,,s_{n}=m_{n-1}\,.$

Тогда сплайн определяется как кусочно-кубическая функция, значение которой находится между $x_{i}$ и $x_{i+1}$ это уникальный кубический полином $P_{i}(x)$,

$P_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+c_{i}(x-x_{i})^{2}+d_{i}(x-x_{i})^{3}\,,$

где коэффициенты многочлена выбраны так, чтобы выполнялись четыре условия непрерывности сплайна вместе с его первой производной,

$P(x_{i})=y_{i}\,,P(x_{i+1})=y_{i+1}\,,P'(x_{i})=s_{i}\,,P'(x_{i+1})=s_{i+1}\,.$

что дает

$a_{i}=y_{i}\,,$

$b_{i}=s_{i}\,,$

$c_{i}={\frac {3m_{i}-2s_{i}-s_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}\,,$

$d_{i}={\frac {s_{i}+s_{i+1}-2m_{i}}{(x_{i+1}-x_{i})^{2}}}\,.$

В силу этих условий сплайн Акимы представляет собой C ¹ дифференцируемая функция , то есть сама функция непрерывна и первая производная также непрерывна. Однако, вообще говоря, вторая производная не обязательно непрерывна.

Преимущество сплайна Акимы связано с тем, что он использует только значения из соседних узловых точек при построении коэффициентов интерполяционного полинома между любыми двумя узловыми точками. Это означает, что не требуется решать большую систему уравнений, а сплайн Акима позволяет избежать нефизических колебаний в областях, где вторая производная базовой кривой быстро меняется. Возможным недостатком сплайна Акимы является то, что он имеет разрывную вторую производную.

Внешние ссылки

• Онлайн-демо сплайн-интерполяции Акимы в TypeScript