U-ранг

В теории моделей , разделе математической логики, U-ранг является одной из мер сложности (полного) типа в контексте стабильных теорий . Как обычно, более высокий U-ранг указывает на меньшее ограничение, а существование U-ранга для всех типов во всех множествах эквивалентно важному теоретико-модельному условию: в данном случае суперстабильности .

Определение

U-ранг определяется индуктивно следующим образом для любого (полного) n-типа p над любым множеством A:

• U ( п ) ≥ 0
• Если δ — предельный ординал, то U ( p ) ≥ δ именно тогда, когда U ( p ) ≥ α для всех α меньше δ.
• Для любого α = β + 1 U ( p ) ≥ α точно тогда, когда существует разветвляющееся расширение q точки p с U ( q ) ≥ β

Мы говорим, что U ( p ) = α , когда U ( p ) ≥ α , но не U ( p ) ≥ α + 1.

Если U ( p ) ≥ α для всех ординалов α , мы говорим, что U-ранг неограничен, или U ( p ) = ∞.

Примечание. U-ранг формально обозначается $U_{n}(p)$, где p на самом деле является p(x), а x — кортеж переменных длины n. Этот индекс обычно опускается, если не возникает путаницы.

Теории

U-ранг монотонен в своей области определения. То есть предположим, что — полный тип над A , а B — подмножество A. p Тогда для q ограничение p на B : U ( q ) ≥ U ( p ).

Если мы возьмем B (выше) пустым, то получим следующее: если существует n -тип p над некоторым набором параметров с рангом не ниже α , то существует тип над пустым набором ранга в минимум α . Таким образом, мы можем определить для полной (стабильной) теории T , $U_{n}(T)=\sup\{U_{n}(p):p\in S(T)\}$.

Затем мы получаем краткую характеристику сверхстабильности; стабильная теория T является суперстабильной тогда и только тогда, когда $U_{n}(T)<\infty$ для каждого n .

Свойства

• Как отмечалось выше, U-ранг монотонен в своей области определения.
• Если p имеет U-ранг , то для любого β < α существует разветвляющееся расширение q p α с U-рангом β .
• Если p является типом b над A , существует некоторое множество B, A , причем q является типом b над B. расширяющее
• Если p не имеет ранга (т. е. p имеет U-ранг ∞), то существует разветвляющееся расширение q p , которое также не имеет ранга.
• Даже в отсутствие суперстабильности существует ординал β , который является максимальным рангом всех ранговых типов, и для любого α < β существует тип p ранга α , и если ранг p больше β , то это должно быть ∞.

Примеры

• U ( p ) > 0 именно тогда, когда p неалгебраично.
• Если T — теория алгебраически замкнутых полей (любой фиксированной характеристики), то $U_{1}(T)=1$. Далее, если A — любой набор параметров, а K — поле, порожденное A 1-типа , то p над A имеет ранг 1, если (все реализации) p трансцендентны над K , и 0 в противном случае. В более общем смысле, n -тип p над A имеет U-ранг k , степень трансцендентности (над K ) любой его реализации.

Ссылки

Пиллэй, Ананд (2008) [1983]. Введение в теорию устойчивости . Дувр. п. 57. ИСБН  978-0-486-46896-9 .