Резонансы при рассеянии на потенциалах

В квантовой механике сечение резонанса возникает в контексте квантовой теории рассеяния , которая занимается изучением рассеяния квантовых частиц от потенциалов. Задача рассеяния связана с расчетом распределения потока рассеянных частиц/волн в зависимости от потенциала и состояния (характеризуемого сохранением импульса/энергии ) падающей частицы. Для свободной квантовой частицы, падающей на потенциал, решение плосковолнового независимого от времени волнового уравнения Шредингера имеет вид:

\psi ({\vec {r}})=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}

Для одномерных задач коэффициент прохождения $T$ представляет интерес. Он определяется как:

T={\frac {|{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }|}{|{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }|}}

где ${\vec {J}}$ – плотность тока вероятности. Это дает долю падающего пучка частиц, которая проходит через потенциал. Для трехмерных задач можно было бы рассчитать сечение рассеяния $\sigma$ , что, грубо говоря, представляет собой общую площадь рассеиваемого падающего луча. Еще одна важная величина — это частичное сечение , $\sigma _{\text{l}}$ , которое обозначает сечение рассеяния парциальной волны с определенным собственным состоянием углового момента. Эти величины, естественно, зависят от ${\vec {k}}$ , волновой вектор падающей волны, который связан с ее энергией соотношением:

E={\frac {\hbar ^{2}|{\vec {k}}|^{2}}{2m}}

Значения этих величин, представляющие интерес, коэффициент передачи $T$ (в случае одномерных потенциалов), а частичное сечение $\sigma _{\text{l}}$ показать пики в их изменении в зависимости от падающей энергии $E$ . Эти явления называются резонансами.

Одномерный случай

Математическое описание

Одномерный конечный квадратный потенциал определяется выражением

V(x)={\begin{cases}V_{0},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},

Знак $V_{0}$ определяет, является ли квадратный потенциал ямой или барьером . Для изучения явлений резонанса было использовано нестационарное уравнение Шредингера для стационарного состояния массивной частицы с энергией $E>V_{0}$ решено:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi

Решения волновых функций для трех областей $x<0,0<x<L,x>L$ являются

\psi _{1}(x)={\begin{cases}A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x},&x<0,\\A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x},&0<x<L,\\A_{3}e^{ik_{1}x}+B_{3}e^{-ik_{1}x},&x>L,\end{cases}}

Здесь, $k_{1}$ и $k_{2}$ – волновые числа в беспотенциальной области и внутри потенциала соответственно:

k_{1}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},

k_{2}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }},

Чтобы рассчитать $T$ , коэффициент волновой функции задается как $B_{3}=0$ , что соответствует тому, что на потенциал справа не падает волна. Наложив условие, что волновая функция $\psi (x)$ и его производная ${\frac {d\psi }{dx}}$ должно быть непрерывным на границах скважины/барьера $x=0$ и $x=L$ , найдены связи между коэффициентами, что позволяет $T$ найти как:

T={\frac {|A_{3}|^{2}}{|A_{1}|^{2}}}={\frac {4E(E-V_{0})}{4E(E-V_{0})+V_{0}^{2}\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]}}

Отсюда следует, что коэффициент передачи $T$ достигает максимального значения 1, когда:

\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]=0{\text{, or }}{\sqrt {2m(E-V_{0})}}={\frac {n\pi \hbar }{L}}

для любого целого значения $n$ . Это состояние резонанса , которое приводит к обострению $T$ к своему максимуму, называемому резонансом .

Физическая картина (стоячие волны де Бройля и эталон Фабри-Перо)

Из приведенного выше выражения следует, что резонанс возникает, когда расстояние, преодолеваемое частицей при прохождении скважины и обратно ( $2L$ ) является целым кратным длины волны де Бройля частицы внутри потенциала ( $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}$ ). Для $E>V_{0}$ отражения на потенциальных разрывах не сопровождаются каким-либо изменением фазы. ^[1] Следовательно, резонансы соответствуют образованию стоячих волн внутри потенциального барьера/ямы. При резонансе волны, падающие на потенциал при $x=0$ а волны, отражаясь между стенками потенциала, находятся в фазе и усиливают друг друга. Вдали от резонансов стоячие волны не могут образовываться. Тогда волны, отражаясь между обеими стенками потенциала (при $x=0$ и $x=L$ ) и волна, прошедшая через $x=0$ находятся в противофазе и разрушают друг друга помехами. Физика прохождения аналогична физике пропускания в интерферометре Фабри–Перо в оптике, где условие резонанса и функциональный вид коэффициента прохождения такие же.

Природа резонансных кривых

Коэффициент передачи колеблется между максимумом 1 и минимумом $\left[1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E(E-V_{0})}}\right]^{-1}$ как функция длины квадратного колодца ( $L$ ) с периодом ${\frac {\pi }{k_{2}}}$ . Минимумы передачи имеют тенденцию $1$ в пределе большой энергии $E>>V_{0}$ , что приводит к более мелким резонансам и, наоборот, имеет тенденцию к $0$ в пределе низкой энергии $E<<V_{0}$ , что приводит к более резким резонансам. Это демонстрируется на графиках зависимости коэффициента прохождения от энергии падающих частиц для фиксированных значений коэффициента формы, определяемого как ${\sqrt {\frac {2mV_{0}L^{2}}{\hbar ^{2}}}}$