Комплексный выигрыш

В электронике — это комплексное усиление влияние схемы на амплитуду и фазу синусоидального сигнала . Термин «комплекс» используется потому, что математически этот эффект можно выразить как комплексное число .

системы LTI

Учитывая общую систему LTI

$P(D)x=Q(D)f(t)$

где $f(t)$ это вход и $P(D),Q(D)$ заданы полиномиальные операторы, предполагая, что $P(s)\neq 0$. В случае, если $f(r)=F_{0}\cos(\omega t)$, частным решением данного уравнения является

$x_{p}(t)=\operatorname {Re} {\Big (}F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}{\Big )}.$

Рассмотрим следующие концепции, используемые в основном в физике и обработке сигналов.

$\bullet$ Амплитуда входного сигнала $F_{0}$. Он имеет те же единицы измерения, что и входное количество.

$\bullet$ Угловая частота входа $\omega$. Он имеет единицы радиан/время. Часто мы будем небрежно называть это частотой, хотя технически частота должна иметь единицы циклов/времени.

$\bullet$ Амплитуда ответа $A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. Он имеет те же единицы измерения, что и количество ответов.

$\bullet$ Выигрыш $g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. Коэффициент усиления — это коэффициент, на который умножается входная амплитуда, чтобы получить амплитуду отклика. Он имеет единицы, необходимые для преобразования

единицы ввода к единицам вывода.

$\bullet$ Фазовая задержка $\phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))$. Фазовая задержка измеряется в радианах, т.е. она безразмерна.

$\bullet$ Временной лаг $\phi /\omega$. Здесь есть единицы времени. Это время, когда пик выходного сигнала отстает от пика входного сигнала.

$\bullet$ Комплексный выигрыш $Q(i\omega )/P(i\omega )$. Это коэффициент, на который умножается комплексный входной сигнал, чтобы получить комплексный выходной результат.

Пример

Предположим, что схема имеет входное напряжение, описываемое уравнением

$V_{i}(t)=1\ V\cdot \sin(\omega \cdot t)$

где ω равно 2π×100 Гц, т. е. входной сигнал представляет собой синусоидальную волну частотой 100 Гц и амплитудой 1 вольт.

Если схема такова, что для этой частоты она удваивает амплитуду сигнала и вызывает сдвиг фазы вперед на 90 градусов, то ее выходной сигнал можно описать формулой

$V_{o}(t)=2\ V\cdot \cos(\omega \cdot t)$

В комплексных обозначениях эти сигналы для данной частоты можно описать как j · 1 В и 2 В соответственно.

Комплексный коэффициент усиления G этой схемы затем вычисляется путем деления выхода на вход:

$G={\frac {2\ V}{j\cdot 1\ V}}=-2j.$

Это (безразмерное) комплексное число включает в себя как величину изменения амплитуды (как абсолютное значение ), так и изменение фазы (как аргумент ).