Перестановочный анализ дисперсии

Перестановочный многомерный дисперсионный анализ ( ПЕРМАНОВА ), представляет собой непараметрический многомерный статистический тест перестановок . PERMANOVA используется для сравнения групп объектов и проверки нулевой гипотезы о том, что центроиды и дисперсия групп, определенные пространством измерений, эквивалентны для всех групп. Отказ от нулевой гипотезы означает, что либо центроид, либо разброс объектов в группах различны. Следовательно, тест основан на предварительном расчете расстояния между любыми двумя объектами, включенными в эксперимент.PERMANOVA имеет некоторое сходство с ANOVA , где они измеряют сумму квадратов внутри группы и между группами, а также используют F-критерий для сравнения дисперсии внутри группы и между группами. Однако в то время как ANOVA основывает значимость результата на предположении о нормальности, PERMANOVA проводит тесты на значимость, сравнивая фактический результат F-теста с результатом, полученным в результате случайных перестановок объектов между группами. Более того, в то время как PERMANOVA проверяет сходство на основе выбранной меры расстояния, ANOVA проверяет сходство группы. средние значения .

Расчет статистики

В простом случае одного фактора с p группами и n объектами в каждой группе общая сумма квадратов определяется как:

$SS_{T}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij}^{2}$

где $N=pn$ общее количество объектов, а $d_{ij}^{2}$ — квадрат расстояния между объектами i и j .

Аналогично, сумма квадратов внутри групп определяется как:

$SS_{W}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}d_{ij}^{2}\delta _{ij}$

где $\delta _{ij}$ равно 1, если наблюдения i и j принадлежат одной группе, и 0 в противном случае.Тогда сумма квадратов между группами ( $SS_{A}$) можно рассчитать как разницу между общей и внутригрупповой суммой квадратов:

$SS_{A}=SS_{T}-SS_{W}$

Наконец, рассчитывается псевдо F-статистика:

$F={\frac {\left({\dfrac {SS_{A}}{p-1}}\right)}{\left({\dfrac {SS_{W}}{N-p}}\right)}}$

где p — количество групп.

Значение рисунка

Наконец, процедура PERMANOVA извлекает значимость из фактической статистики F, выполняя несколько перестановок данных. В каждой перестановке $\pi$ предметы перемешиваются между группами, и для них рассчитывается F-коэффициент, $F^{\pi }$. Затем значение P рассчитывается по формуле:

$P={\frac {{\text{number of permutations with }}F^{\pi }\geq F}{\text{total number of permutations}}}$

Реализация и использование

PERMANOVA широко используется в области экологии и реализована в нескольких программных пакетах, включая PERMANOVA. программное обеспечение, PRIMER и R (язык программирования) Vegan, lmPerm и Python (язык программирования) skbio пакеты.