Тета-функции Невилла

Чтобы узнать о других функциях θ, см. Тета-функция (значения) .

В математике тэта-функции Невилла , названные в честь Эрика Гарольда Невилла , определяются следующим образом:

$\theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

$\theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$

$\theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$

где: K(m) – полный эллиптический интеграл первого рода, $K'(m)=K(1-m)$, и $q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}$ это эллиптический ном.

Обратите внимание, что функции θ _p (z,m) иногда определяются в терминах нома q(m) и пишутся как θ _p (z,q) (например, NIST ). Функции также можно записать через τ параметр θ _p (z|τ) , где $q=e^{i\pi \tau }$.

Связь с другими функциями

Тета-функции Невилла можно выразить через тета-функции Якоби.

$\theta _{s}(z|\tau )=\theta _{3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )$

$\theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )$

$\theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )$

$\theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )$

где $z'=z/\theta _{3}^{2}(0|\tau )$.

Тета-функции Невилла связаны с эллиптическими функциями Якоби . Если pq(u,m) — эллиптическая функция Якоби (p и q — одна из s,c,n,d), то

$\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}.$

Примеры

• $\theta _{c}(2.5,0.3)\approx -0.65900466676738154967$
• $\theta _{d}(2.5,0.3)\approx 0.95182196661267561994$
• $\theta _{n}(2.5,0.3)\approx 1.0526693354651613637$
• $\theta _{s}(2.5,0.3)\approx 0.82086879524530400536$

Симметрия

• $\theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)$
• $\theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)$
• $\theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)$
• $\theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)$

Сложные 3D-графики

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Невилл, Э.Х. (Эрик Гарольд) (1944). Эллиптические функции Якоби . Оксфорд Кларендон Пресс.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тэта-функции Невилла» . Математический мир .