Теорема об удвоении размерности

В теории вероятностей теоремы удвоения размерности два результата о хаусдорфовой размерности образа движения броуновского представляют собой . По своей сути оба утверждения говорят, что размерность множества $A$ при броуновском движении почти наверняка удваивается .

Первый результат принадлежит Генри П. Маккину-младшему и поэтому назван теоремой Маккина (1955). Вторая теорема представляет собой уточнение результата Маккина и называется теоремой Кауфмана (1969), поскольку была доказана Робертом Кауфманом .

Теоремы удвоения размерности

Для $d$-мерное броуновское движение $W(t)$ и набор $A\subset [0,\infty )$ мы определяем образ $A$ под $W$, то есть

$W(A):=\{W(t):t\in A\}\subset \mathbb {R} ^{d}.$

Теорема Маккина

Позволять $W(t)$ быть броуновским движением в размерности $d\geq 2$. Позволять $A\subset [0,\infty )$, затем

$\dim W(A)=2\dim A$

$P$- почти наверняка.

Теорема Кауфмана

Позволять $W(t)$ быть броуновским движением в размерности $d\geq 2$. Затем $P$-почти наверняка, для любого набора $A\subset [0,\infty )$, у нас есть

$\dim W(A)=2\dim A.$

Разница теорем

Отличие теорем состоит в следующем: в результате МакКина $P$— нулевые множества , где утверждение неверно, зависит от выбора $A$. С другой стороны, результат Кауфмана верен для любого выбора $A$ одновременно. Это означает, что теорему Кауфмана можно применить и к случайным наборам. $A$.

Литература

• Мёртерс, Питер; Перес, Юваль (2010). Броуновское движение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 279.
• Шиллинг, Рене Л.; Парч, Лотар (2014). Броуновское движение . Грютер. стр. 169.