Набор отдельных деталей
 | Эта статья в значительной степени или полностью опирается на один источник . ( апрель 2017 г. ) |
В теории справедливого разрезания торта набор отдельных кусочков (IPS) — это геометрический объект, который представляет все возможные векторы полезности в разделах торта.
Пример
[ редактировать ]Предположим, у нас есть торт, состоящий из четырех частей. Есть два человека, Алиса и Джордж, с разными вкусами: каждый по-разному ценит разные части торта. В таблице ниже описаны детали и их значения.
| Шоколад | Лимон | Ваниль | Вишня | |
|---|---|---|---|---|
| Стоимость Алисы | 18 | 9 | 1 | 2 |
| Ценность Джорджа | 18 | 0 | 4 | 8 |
Торт можно разделить по-разному. Каждое деление (кусок Алисы, кусок Джорджа) дает свой вектор полезности (полезность Алисы, полезность Джорджа). IPS — это набор векторов полезности всех возможных разделов.
IPS для примера торта показан справа.
Характеристики
[ редактировать ]IPS — выпуклое множество и компактное множество . Это следует из теорем Дубинса–Спанье .
При двух агентах IPS симметричен относительно средней точки (в данном случае это точка (15,15)). Возьмите немного int на ИПС. Эта точка исходит из какого-то раздела. Поменяйтесь местами между Алисой и Джорджем. Тогда новая полезность Алисы равна 30 минус ее предыдущая полезность, а новая полезность Джорджа равна 30 минус его предыдущая полезность, поэтому симметричная точка тоже есть на IPS.
Верхняя правая граница IPS — это граница Парето — это набор всех эффективных по Парето разделов. При наличии двух агентов эту границу можно построить следующим образом:
- Расположите кусочки торта в порядке возрастания отношения предельной полезности (полезность Джорджа / полезность Алисы). В приведенном выше примере порядок будет таким: Лимон (0), Шоколад (1), Ваниль+Вишня (4).
- Начните с того момента, когда весь торт отдается Джорджу (0,30).
- Переместите каждый кусок торта по порядку от Джорджа к Алисе; нарисуйте линию, наклон которой соответствует соответствующему коэффициенту полезности.
- Закончите в тот момент, когда весь торт будет передан Алисе (30,0).
История
[ редактировать ]IPS был введен как часть теорем Дубинса-Спанье и использовался при доказательстве теоремы Веллера . Термин «индивидуальный набор пьес» был придуман Юлиусом Барбанелем . [1]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Барбанель, Юлиус Б. (2005). Геометрия эффективного справедливого дележа . Введение Алана Д. Тейлора. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511546679 . ISBN 0-521-84248-4 . МР 2132232 . Краткое содержание доступно по адресу: Барбанель, Дж. (2010). «Геометрический подход к справедливому разделению». Математический журнал колледжа . 41 (4): 268. дои : 10.4169/074683410x510263 .