Усреднение Фавра

Усреднение Фавра — это метод усреднения, взвешенный по плотности, используемый в турбулентных потоках переменной плотности или сжимаемых вместо усреднения Рейнольдса . Официально метод был предложен французским учёным А. Ж. Фавром в 1965 году. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} хотя Осборн Рейнольдс также уже ввел усреднение по плотности в 1895 году. ^{[ 3 ]} Усреднение приводит к упрощенной форме нелинейных конвективных членов уравнений Навье-Стокса за счет усложнения диффузионных членов.

Усредненные переменные Фавра

Усреднение Фавра проводится для всех динамических переменных, кроме давления. Для компонентов скорости $u_{i}$ , усреднение Фавра определяется как

${\widetilde {u_{i}}}={\frac {\overline {\rho u_{i}}}{\overline {\rho }}}$

где верхняя черта обозначает типичное усреднение Рейнольдса, тильда обозначает усреднение Фавра, а $\rho (\mathbf {x} ,t)$ – поле плотности. Тогда разложение Фавра по компонентам скорости записывается как

$u_{i}={\widetilde {u_{i}}}+u_{i}''$

где $u_{i}''$ – флуктуационная часть в усреднении Фавра, удовлетворяющая условию ${\widetilde {u_{i}''}}=0$ , то есть, ${\overline {\rho u_{i}''}}=0$ . Нормальное разложение Рейнольдса имеет вид $u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}'$ , где $u_{i}'$ – флуктуационная часть в усреднении Рейнольдса, удовлетворяющая условию ${\overline {u_{i}'}}=0$ . Переменные, усредненные по Фавре, труднее измерить экспериментально, чем переменные, усредненные по Рейнольдсу, однако эти две переменные могут быть связаны точным образом, если известны корреляции между плотностью и колеблющейся величиной; это так, потому что мы можем написать

${\widetilde {u_{i}}}={\overline {u_{i}}}\left(1+{\frac {\overline {\rho 'u_{i}'}}{{\overline {\rho }}\,{\overline {u_{i}}}}}\right).$

Преимущество переменных, усредненных по Фавре, ясно видно, если взять нормальное усреднение члена $\rho u_{i}u_{j}$ это появляется в конвективном члене уравнений Навье-Стокса, записанных в его сохраняющейся форме. Это дано ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

${\begin{aligned}{\overline {\rho u_{i}u_{j}}}&={\overline {\rho }}\,{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}+{\overline {\rho }}{\overline {u_{i}'u_{j}'}}+{\overline {u_{i}}}{\overline {\rho 'u_{j}'}}+{\overline {u_{j}}}{\overline {\rho 'u_{i}'}}+{\overline {\rho 'u_{i}'u_{j}'}}\\&={\overline {\rho }}{\widetilde {u_{i}}}{\widetilde {u_{j}}}+{\overline {\rho u_{i}''u_{j}''}}.\end{aligned}}$

Как мы видим, в усреднении имеется пять членов, если оно выражено через переменные, усредненные по Рейнольдсу, тогда как мы имеем только два члена, когда оно выражается через переменные, усредненные по Фавре.

Ссылки

^ Фавр, AJ (1965). Уравнения сжимаемых турбулентных газов. Университет Экс-Марселье (Франция), инст. Статистической механики турбулентности.
^ Фавр, AJ (1969). Статистические уравнения турбулентных газов, в «Проблемах гидродинамики и механики сплошной среды», Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, 231–266.
^ Рейнольдс, О. (1895). IV. К динамической теории несжимаемых вязких жидкостей и определению критерия. Философские труды Лондонского королевского общества. (а.), (186), 123–164.
^ Либби П.А., Уильямс, Ф.А., (1980), Турбулентные реакционные потоки, стр. 14-16.
^ Билгер, Р. (1975). Замечание об усреднении Фавра в потоках переменной плотности. Наука и технология горения, 11(5-6), 215-217.

[1] Фавр, AJ (1965). Уравнения сжимаемых турбулентных газов. Университет Экс-Марселье (Франция), инст. Статистической механики турбулентности.

[2] Фавр, AJ (1969). Статистические уравнения турбулентных газов, в «Проблемах гидродинамики и механики сплошной среды», Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, 231–266.

[3] Рейнольдс, О. (1895). IV. К динамической теории несжимаемых вязких жидкостей и определению критерия. Философские труды Лондонского королевского общества. (а.), (186), 123–164.

[4] Либби П.А., Уильямс, Ф.А., (1980), Турбулентные реакционные потоки, стр. 14-16.

[5] Билгер, Р. (1975). Замечание об усреднении Фавра в потоках переменной плотности. Наука и технология горения, 11(5-6), 215-217.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]