σ-алгебра τ-прошлого

σ -алгебра τ-прошлого (также называемая остановленной σ-алгеброй , остановленным σ-полем или σ-полем τ-прошлого ) — это σ-алгебра, связанная с временем остановки в теории случайных процессов , ветвь вероятностей теории .

Определение

Позволять $\tau$ быть временем остановки в отфильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$. Тогда σ-алгебра

${\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \forall t\in T\colon \{\tau \leq t\}\cap A\in {\mathcal {F}}_{t}\}$

называется σ-алгеброй τ-прошлого.

Характеристики

Монотонность

Является $\sigma ,\tau$ два момента остановки и

$\sigma \leq \tau$

почти наверняка, тогда

${\mathcal {F}}_{\sigma }\subset {\mathcal {F}}_{\tau }.$

Измеримость

Время остановки $\tau$ всегда ${\mathcal {F}}_{\tau }$- измеримый .

Интуиция

Таким же образом ${\mathcal {F}}_{t}$ вся информация актуальна $t$, ${\mathcal {F}}_{\tau }$ вся информация готова $\tau$. Единственная разница в том, что $\tau$ является случайным. Например, если у вас было случайное блуждание, и вы хотели спросить: «Сколько раз случайное блуждание достигло значения −5, прежде чем оно впервые достигло 10?», то позвольте $\tau$ будет первый случай, когда случайное блуждание достигнет 10, ${\mathcal {F}}_{\tau }$ даст вам информацию для ответа на этот вопрос.