Q (числовой формат)

Обозначение Q — это способ указать параметры двоичного формата чисел с фиксированной запятой . Например, в нотации Q числовой формат, обозначаемый Q8.8 означает, что числа с фиксированной точкой в этом формате имеют 8 бит для целой части и 8 бит для дробной части.

ряд других обозначений С той же целью использовался .

Определение

Версия Texas Instruments

Обозначение Q, определенное Texas Instruments , ^[1] состоит из буквы Q, за которым следует пара чисел m . n , где m — количество битов, используемых для целой части значения, а n — количество дробных битов.

По умолчанию эта запись описывает знаковый двоичный формат с фиксированной запятой, при этом немасштабированное целое число хранится в формате дополнения до двух , используемом в большинстве двоичных процессоров. Первый бит всегда указывает знак значения (1 = отрицательный, 0 = неотрицательный) и не учитывается в параметре m . Таким образом, общее количество w используемых битов равно 1 + m + n .

Например, спецификация Q3.12 описывает знаковое двоичное число с фиксированной запятой, всего w = 16 бит, включая знаковый бит, три бита для целой части и 12 бит, которые являются дробной частью. То есть 16-битное целое число со знаком (дополнение до двух), которое неявно умножается на коэффициент масштабирования 2. ⁻¹²

В частности, когда n равно нулю, числа являются просто целыми числами. Если m равно нулю, все биты, кроме знакового бита, являются дробными битами; тогда диапазон сохраненного числа составляет от -1,0 (включительно) до +1,0 (исключительно).

М и точку можно опустить, и в этом случае они определяются на основе размера переменной или регистра, в котором хранится значение. Таким образом, Q12 означает целое число со знаком с любым количеством бит, которое неявно умножается на 2. ⁻¹².

Письмо U может иметь префикс Q для обозначения беззнакового двоичного формата с фиксированной запятой. Например, UQ1.15 описывает значения, представленные как беззнаковые 16-битные целые числа с неявным коэффициентом масштабирования 2. ⁻¹⁵, которые находятся в диапазоне от 0,0 до (2 ¹⁶−1)/2 ¹⁵ = +1.999969482421875.

ARM-версия

Вариант обозначения Q использовался ARM . В этом варианте число m включает знаковый бит. Например, 16-битное целое число со знаком будет обозначаться Q15.0 в варианте TI, но Q16.0 в варианте ARM. ^[2]^[3]

Характеристики

Разрешение (разница между последовательными значениями) Q m . n или UQ м . формат n всегда равен 2 ^{− п}. Диапазон представимых значений зависит от используемых обозначений:

Диапазон представимых значений в обозначении Q
Обозначения	Обозначения Texas Instruments	Обозначение ARM
Подпись Q м . н	−2 ^м до +2 ^м − 2 ^{− п}	−2 ^{м −1} до +2 ^{м −1} − 2 ^{− п}
Беззнаковый UQ м . н	от 0 до 2 ^м − 2 ^{− п}	от 0 до 2 ^м − 2 ^{− п}

Например, номер формата Q15.1 требует 15+1 = 16 бит и имеет разрешение 2. ⁻¹ = 0,5, а представимые значения варьируются от −2 ¹⁴ = от −16384,0 до +2 ¹⁴ − 2 ⁻¹ = +16383,5. В шестнадцатеричном формате отрицательные значения варьируются от 0x8000 до 0xFFFF, за которыми следуют неотрицательные значения от 0x0000 до 0x7FFF.

Математические операции

Числа Q представляют собой отношение двух целых чисел: числитель хранится в памяти, знаменатель $d$ равно 2 ^н.

Рассмотрим следующий пример:

Знаменатель Q8 равен 2 ⁸ = 256
1,5 равно 384/256
384 сохраняется, 256 выводится, поскольку это число Q8.

Если необходимо сохранить базу числа Q ( n остается постоянным), математические операции с числом Q должны сохранять знаменатель. $d$ постоянный. Следующие формулы показывают математические операции с общими числами Q. $N_{1}$ и $N_{2}$ . (Если мы рассмотрим пример, упомянутый выше, $N_{1}$ это 384 и $d$ это 256.)

${\begin{aligned}{\frac {N_{1}}{d}}+{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}+N_{2}}{d}}\\{\frac {N_{1}}{d}}-{\frac {N_{2}}{d}}&={\frac {N_{1}-N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}\times {\frac {N_{2}}{d}}\right)\times d&={\frac {N_{1}\times N_{2}}{d}}\\\left({\frac {N_{1}}{d}}/{\frac {N_{2}}{d}}\right)/d&={\frac {N_{1}/N_{2}}{d}}\end{aligned}}$

Поскольку знаменатель представляет собой степень двойки, умножение можно реализовать как арифметический сдвиг влево, а деление — как арифметический сдвиг вправо; на многих процессорах сдвиги выполняются быстрее, чем умножение и деление.

Для обеспечения точности промежуточные результаты умножения и деления должны иметь двойную точность, и необходимо соблюдать осторожность при округлении промежуточного результата перед преобразованием обратно в желаемое число Q.

При использовании C выполняются следующие операции (обратите внимание, что здесь Q относится к количеству битов дробной части):

Добавление

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

С насыщенностью

int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}

В отличие от чисел с плавающей запятой ±Inf, насыщенные результаты не являются липкими и станут ненасыщенными при добавлении отрицательного значения к положительному насыщенному значению (0x7FFF) и наоборот в показанной реализации. В языке ассемблера флаг Signed Overflow можно использовать, чтобы избежать приведения типов, необходимых для этой реализации C.

Вычитание

int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

Умножение

// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
	if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
	else if (x < -0x8000) return -0x8000;
	else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}

Разделение

int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

См. также

Ссылки

^ «Приложение А.2». Справочник программиста библиотеки DSP TMS320C64x (PDF) . Даллас, Техас, США: Texas Instruments Incorporated . Октябрь 2003 г. СПРУ565. Архивировано (PDF) из оригинала 22 декабря 2022 г. Проверено 22 декабря 2022 г. (150 страниц)
^ «Руководство по отладчикам ARM Developer Suite AXD и Armsd» . 1.2. АРМ Лимитед . 2001 [1999]. Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат. ARM DUI 0066D. Архивировано из оригинала 04.11.2017.
^ «Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат». Руководство по отладчикам RealView Development Suite AXD и Armsd (PDF) . 3.0. АРМ Лимитед . 2006 [1999]. стр. 4–24. ARM DUI 0066G. Архивировано (PDF) из оригинала 4 ноября 2017 г.

Дальнейшее чтение

Оберстар, Эрик Л. (30 августа 2007 г.) [2004]. «Представление с фиксированной запятой и дробная математика» (PDF) . 1.2. Оберстар Консалтинг. Архивировано из оригинала (PDF) 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г. (Примечание: точность статьи оспаривается; см. обсуждение.)

Внешние ссылки

«Реализация Java в формате Q-числа» . Гитхаб . Архивировано из оригинала 4 ноября 2017 г. Проверено 4 ноября 2017 г.
«Конвертер Q-формата» . Архивировано из оригинала 25 июня 2021 г. Проверено 25 июня 2021 г.
«Библиотека Q (реализация C)» . Гитхаб . Проверено 5 марта 2024 г.

[TI_2003-1] «Приложение А.2». Справочник программиста библиотеки DSP TMS320C64x (PDF) . Даллас, Техас, США: Texas Instruments Incorporated . Октябрь 2003 г. СПРУ565. Архивировано (PDF) из оригинала 22 декабря 2022 г. Проверено 22 декабря 2022 г. (150 страниц)

[ARM_2001-2] «Руководство по отладчикам ARM Developer Suite AXD и Armsd» . 1.2. АРМ Лимитед . 2001 [1999]. Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат. ARM DUI 0066D. Архивировано из оригинала 04.11.2017.

[ARM_2006-3] «Глава 4.7.9. AXD > Возможности AXD > Форматирование данных > Q-формат». Руководство по отладчикам RealView Development Suite AXD и Armsd (PDF) . 3.0. АРМ Лимитед . 2006 [1999]. стр. 4–24. ARM DUI 0066G. Архивировано (PDF) из оригинала 4 ноября 2017 г.

[1]

[2]

[3]