Теорема Шинцеля

В геометрии чисел теоремой Шинцеля является следующее утверждение:

Теорема Шинцеля — для любого заданного положительного целого числа $n$, существует окружность в евклидовой плоскости , проходящая ровно через $n$ целочисленные точки.

Первоначально он был доказан и назван в честь Анджея Шинцеля .

Доказательство

Обведите ровно четыре точки, заданные конструкцией Шинцеля.

Шинцель доказал эту теорему с помощью следующей конструкции. Если $n$ является четным числом, при этом $n=2k$, то окружность, заданная следующим уравнением, проходит точно через $n$ баллы: $$\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.$$Этот круг имеет радиус $5^{(k-1)/2}/2$, и находится в точке $({\tfrac {1}{2}},0)$. Например, на рисунке изображен круг радиусом ${\sqrt {5}}/2$ через четыре целочисленные точки.

Умножение обеих частей уравнения Шинцеля на четыре дает эквивалентное уравнение в целых числах: $$\left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.$$Это пишет $5^{k-1}$ как сумма двух квадратов , где первый нечетный, а второй четный. Есть точно $4k$ способы написать $5^{k-1}$ как сумма двух квадратов, и половина из них находится в порядке (четный, нечетный) по симметрии. Например, $5^{1}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}$, поэтому у нас есть $2x-1=1$ или $2x-1=-1$, и $2y=2$ или $2y=-2$, что дает четыре изображенные точки.

С другой стороны, если $n$ странно, с $n=2k+1$, то окружность, заданная следующим уравнением, проходит точно через $n$ баллы: $$\left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.$$Этот круг имеет радиус $5^{k}/3$, и находится в точке $({\tfrac {1}{3}},0)$.

Характеристики

Круги, порожденные конструкцией Шинцеля, не являются наименьшими возможными кругами, проходящими через заданное количество целых точек. но у них есть то преимущество, что они описываются явным уравнением.