Двойной интегратор

В теории систем и управления двойной интегратор является каноническим примером системы управления второго порядка . Он моделирует динамику простой массы в одномерном пространстве под действием изменяющейся во времени силы. ${\textbf {u}}$.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения, представляющие двойной интегратор:

${\ddot {q}}=u(t)$

$y=q(t)$

где оба $q(t),u(t)\in \mathbb {R}$ Давайте теперь представим это в форме пространства состояний с помощью вектора ${\textbf {x(t)}}={\begin{bmatrix}q\\{\dot {q}}\\\end{bmatrix}}$

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\dot {q}}\\{\ddot {q}}\\\end{bmatrix}}$

В этом представлении ясно, что управляющий вход ${\textbf {u}}$ является второй производной результата ${\textbf {x}}$. В скалярной форме управляющий вход представляет собой вторую производную выхода. $q$.

Государственное космическое представительство

Модель нормализованного пространства состояний двойного интегратора имеет вид

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).$

Согласно этой модели вход ${\textbf {u}}$ является второй производной результата ${\textbf {y}}$отсюда и название двойной интегратор.

Представление передаточной функции

Принимая преобразование Лапласа уравнения ввода-вывода в пространстве состояний, мы видим, что передаточная функция двойного интегратора определяется выражением

${\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.$

Используя дифференциальные уравнения, зависящие от $q(t),y(t),u(t)$ и ${\textbf {x(t)}}$и представление пространства состояний: