Остаточное время

В теории процессов восстановления , части математической теории вероятностей, остаточное время или время прямого возврата — это время между любым заданным моментом времени $t$ и следующая эпоха рассматриваемого процесса обновления. В контексте случайных блужданий это также известно как перерегулирование . Другой способ сформулировать остаточное время: «Сколько еще времени осталось ждать?».

Остаточное время очень важно в большинстве практических применений процессов восстановления:

• В теории массового обслуживания он определяет оставшееся время, в течение которого вновь прибывший клиент в непустую очередь должен ждать, пока его обслужат.
• В беспроводных сетях он определяет, например, оставшийся срок службы беспроводного канала после прибытия нового пакета.
• В исследованиях надежности он моделирует оставшийся срок службы компонента.
• и т. д.

Формальное определение

Пример эволюции процесса восстановления со удержания Si _{временем} и временем скачка J _n .

Рассмотрите процесс обновления $\{N(t),t\geq 0\}$, со временем выдержки $S_{i}$ и время перехода (или эпохи обновления) $J_{i}$, и $i\in \mathbb {N}$. Время проведения $S_{i}$ являются неотрицательными, независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, а процесс восстановления определяется как $N(t)=\sup\{n:J_{n}\leq t\}$. Затем к заданному времени $t$, соответствует однозначно $N(t)$, такой, что:

$J_{N(t)}\leq t<J_{N(t)+1}.\,$

Остаточное время (или избыточное время) определяется временем $Y(t)$ от $t$ к следующей эпохе обновления.

$Y(t)=J_{N(t)+1}-t.\,$

Распределение вероятностей остаточного времени

Пусть кумулятивная функция распределения времен выдержки $S_{i}$ быть $F(t)=Pr[S_{i}\leq t]$ и напомним, что функция восстановления процесса есть $m(t)=\mathbb {E} [N(t)]$. Затем в течение заданного времени $t$, кумулятивная функция распределения $Y(t)$ рассчитывается как:

$\Phi (x,t)=\Pr[Y(t)\leq x]=F(t+x)-\int _{0}^{t}\left[1-F(t+x-y)\right]dm(y)$

Дифференцируя по $x$, функцию плотности вероятности можно записать как

$\phi (x,t)=f(t+x)+\int _{0}^{t}f(u+x)m'(t-u)du,$

где мы заменили $u=t-y.$ Из элементарной теории обновления $m'(t)\rightarrow 1/\mu$ как $t\rightarrow \infty$, где $\mu$ является средним значением распределения $F$. Если рассматривать предельное распределение как $t\rightarrow \infty$, предполагая, что $f(t)\rightarrow 0$ как $t\rightarrow \infty$, у нас есть ограничивающий PDF-файл как

$\phi (x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }f(u+x)du={\frac {1}{\mu }}\int _{x}^{\infty }f(v)dv={\frac {1-F(x)}{\mu }}.$

Аналогично, совокупное распределение остаточного времени равно

$\Phi (x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}[1-F(u)]du.$

Для больших $t$, распределение не зависит от $t$, что делает его стационарным распределением. Интересным фактом является то, что предельное распределение времени прямого возврата (или остаточного времени) имеет ту же форму, что и предельное распределение времени обратного возврата (или возраста). Это распределение всегда имеет J-образную форму с нулевой модой.

Первые два момента этого предельного распределения $\Phi$ являются:

$E[Y]={\frac {\mu _{2}}{2\mu }}={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{2\mu }},$

$E[Y^{2}]={\frac {\mu _{3}}{3\mu }},$

где $\sigma ^{2}$ это дисперсия $F$ и $\mu _{2}$ и $\mu _{3}$ являются его второй и третий моменты.

Парадокс времени ожидания

Тот факт, что $E[Y]={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{2\mu }}>{\frac {\mu }{2}}$ (для $\sigma >0$) также известен как парадокс времени ожидания, парадокс проверки или парадокс теории обновления. Парадокс возникает из-за того, что среднее время ожидания до следующего продления, если предположить, что эталонный момент времени $t$ является равномерным, случайно выбранным в пределах интервала между обновлениями, больше среднего интервала между обновлениями ${\frac {\mu }{2}}$. Среднее ожидание составляет $E[Y]={\frac {\mu }{2}}$ только когда $\sigma ^{2}=0$, то есть когда продления всегда пунктуальны или детерминированы.

Особый случай: марковские времена удерживания

Когда сроки выдержки $S_{i}$ экспоненциально распределяются с $F(t)=1-e^{-\lambda t}$остаточные времена также распределены экспоненциально. Это потому, что $m(t)=\lambda t$ и:

$\Pr[Y(t)\leq x]=\left[1-e^{-\lambda (t+x)}\right]-\int _{0}^{t}\left[1-1+e^{-\lambda (t+x-y)}\right]d(\lambda y)=1-e^{-\lambda x}.$

Это известная характеристика экспоненциального распределения , т. е. его свойство отсутствия памяти . Интуитивно это означает, что не имеет значения, сколько времени прошло с последней эпохи обновления, оставшееся время остается вероятностно таким же, как и в начале интервала времени удержания.

Связанные понятия

В текстах теории обновления обычно также определяется затраченное время или время обратного возврата (или текущее время жизни) как $Z(t)=t-J_{N(t)}$. Его распределение можно рассчитать аналогично распределению остаточного времени. Аналогично, общее время жизни представляет собой сумму времени обратного и прямого повторения.