Центральная предельная теорема Мартингейла

В теории вероятностей центральная предельная теорема гласит, что при определенных условиях сумма многих независимых одинаково распределенных случайных величин при соответствующем масштабировании сходится по распределению к стандартному нормальному распределению . Центральная предельная теорема мартингала обобщает этот результат для случайных величин на мартингалы , которые являются случайными процессами , в которых изменение значения процесса от момента времени t ко времени t + 1 имеет нулевое ожидание , даже обусловленное предыдущими результатами.

Заявление

Вот простая версия центральной предельной теоремы мартингала: Пусть $X_{1},X_{2},\dots \,$ быть мартингалом с ограниченными приращениями; то есть предположим

$\operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,$

и

$|X_{t+1}-X_{t}|\leq k$

почти наверняка для некоторой фиксированной границы k и всех t . Также предположим, что $|X_{1}|\leq k$ почти наверняка.

Определять

$\sigma _{t}^{2}=\operatorname {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],$

и пусть

$\tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.$

Затем

${\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}$

сходится по распределению к нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией 1 как $\nu \to +\infty \!$. Более явно,

$\lim _{\nu \to +\infty }\operatorname {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}<x\right)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .$

Сумма дисперсий должна стремиться к бесконечности.

Формулировка приведенного выше результата неявно предполагает, что сумма дисперсий стремится к бесконечности, поэтому с вероятностью 1 справедливо следующее:

$\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty$

Это гарантирует, что с вероятностью 1:

$\tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0$

Это условие нарушается, например, мартингейлом, который почти наверняка всегда равен нулю.

Интуиция на результат

Результат можно интуитивно понять, записав соотношение в виде суммирования:

${\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1$

Первое слагаемое в правой части асимптотически сходится к нулю, а второе слагаемое качественно аналогично формуле суммирования центральной предельной теоремы в более простом случае иид случайных величин. Хотя термины в приведенном выше выражении не обязательно являются iid, они некоррелированы и имеют нулевое среднее значение. Действительно:

$E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}$

$E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}$

Ссылки

Многие другие варианты центральной предельной теоремы мартингала можно найти в:

• Холл, Питер; Хейде, CC (1980). Теория пределов Мартингейла и ее применение . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  0-12-319350-8 .

Заметим, однако, что доказательство теоремы 5.4 в работе Холла и Хейда содержит ошибку. Для дальнейшего обсуждения см.

• Брэдли, Ричард (1988). «О некоторых результатах М. И. Гордина: выяснение недоразумения». Журнал теоретической вероятности . 1 (2). Спрингер: 115–119. дои : 10.1007/BF01046930 . S2CID   120698528 .