Теорема Колмогорова о двух рядах

В вероятностей теории теорема Колмогорова о двух рядах является результатом сходимости случайных рядов. Оно следует из неравенства Колмогорова и используется в одном доказательстве усиленного закона больших чисел .

Формулировка теоремы

Позволять $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ быть независимыми случайными величинами с ожидаемыми значениями $\mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}$ и отклонения $\mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}$, такой, что $\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}$ сходится в $\mathbb {R}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ сходится в $\mathbb {R}$. Затем $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ сходится в $\mathbb {R}$ почти наверняка .

Доказательство

Предположим, WLOG $\mu _{n}=0$. Набор $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$, и мы это увидим $\limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0$ с вероятностью 1.

Для каждого $m\in \mathbb {N}$, $$\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|$$

Таким образом, для каждого $m\in \mathbb {N}$ и $\epsilon >0$, $${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}$$

А второе неравенство обусловлено неравенством Колмогорова .

По предположению, что $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ сходится, то из этого следует, что последний член стремится к 0, когда $m\to \infty$, для каждого произвольного $\epsilon >0$.

Ссылки

• Дарретт, Рик. Вероятность: теория и примеры. Расширенная серия Даксбери, третье издание, Thomson Brooks/Cole, 2005, раздел 1.8, стр. 60–69.
• М. Лоев, Теория вероятностей , Принстонский университет. Пресс (1963) стр. Разд. 16.3
• В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения , 2, Wiley (1971), стр. Раздел. IX.9