Экспоненциальное распределение Маршалла – Олкина

В прикладной статистике экспоненциальное распределение Маршалла – Олкина представляет собой любой член определенного семейства непрерывных многомерных распределений вероятностей с положительнозначными компонентами. Его представили Альберт В. Маршалл и Ингрэм Олкин . ^{[ 1 ]} Одно из его основных применений - в теории надежности, где копула Маршалла-Олкина моделирует зависимость между случайными величинами, подверженными внешним потрясениям. ^{[ 2 ]} ^{[ 3 ]}

Определение

Позволять $\{E_{B}:\varnothing \neq B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}$ быть набором независимых, экспоненциально распределенных случайных величин , где $E_{B}$ имеет в виду $1/\lambda _{B}$ . Позволять

T_{j}=\min\{E_{B}:j\in B\},\ \ j=1,\ldots ,b.

Совместное распространение $T=(T_{1},\ldots ,T_{b})$ называется экспоненциальным распределением Маршалла–Олкина с параметрами $\{\lambda _{B},B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}.$

Конкретный пример

Предположим, b = 3. Тогда существует семь непустых подмножеств { 1, ..., b } = { 1, 2, 3 }; следовательно, семь различных экспоненциальных случайных величин:

E_{\{1\}},E_{\{2\}},E_{\{3\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}

Тогда у нас есть:

{\begin{aligned}T_{1}&=\min\{E_{\{1\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\T_{2}&=\min\{E_{\{2\}},E_{\{1,2\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\T_{3}&=\min\{E_{\{3\}},E_{\{1,3\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\\end{aligned}}

Ссылки

^ Маршалл, Альберт В.; Олкин, Ингрэм (1967), «Многомерное экспоненциальное распределение», Журнал Американской статистической ассоциации , 62 (317): 30–49, doi : 10.2307/2282907 , JSTOR 2282907 , MR 0215400
^ Ботев З.; Л'Экуйер, П.; Симард, Р.; Таффин, Б. (2016), «Оценка надежности статической сети по копуле Маршалла-Олкина», ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation , 26 (2): No.14, doi : 10.1145/2775106 , S2CID 16677453
^ Дуранте, Ф.; Жирар, С.; Мазо, Г. (2016), «Копулы типа Маршалла-Олкина, порожденные глобальным потрясением», Журнал вычислительной и прикладной математики , 296 : 638–648, doi : 10.1016/j.cam.2015.10.022

Сюй М, Сюй С. «Расширенная стохастическая модель для количественного анализа безопасности сетевых систем». Интернет-математика , 2012, 8 (3): 288–320.

[1] Маршалл, Альберт В.; Олкин, Ингрэм (1967), «Многомерное экспоненциальное распределение», Журнал Американской статистической ассоциации , 62 (317): 30–49, doi : 10.2307/2282907 , JSTOR 2282907 , MR 0215400

[2] Ботев З.; Л'Экуйер, П.; Симард, Р.; Таффин, Б. (2016), «Оценка надежности статической сети по копуле Маршалла-Олкина», ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation , 26 (2): No.14, doi : 10.1145/2775106 , S2CID 16677453

[3] Дуранте, Ф.; Жирар, С.; Мазо, Г. (2016), «Копулы типа Маршалла-Олкина, порожденные глобальным потрясением», Журнал вычислительной и прикладной математики , 296 : 638–648, doi : 10.1016/j.cam.2015.10.022

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]