Уравнение Пэйла

Уравнение Шамеля (S-уравнение) представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка по времени и третьего порядка по пространству. Подобно уравнению Кортевега – Де Фриза (КдВ), ^[1] он описывает развитие локализованной когерентной волновой структуры, распространяющейся в нелинейно-дисперсионной среде. Впервые он был выведен в 1973 году Гансом Шамелем. ^[2] описать эффекты захвата электронов в минимуме потенциала уединенной электростатической волновой структуры, движущейся с ионной акустической скоростью в двухкомпонентной плазме. Теперь это применимо к различной локализованной динамике пульса, такой как:

электронные и ионные дырки или вихри фазового пространства в бесстолкновительной плазме, такой как космическая плазма, ^[3]
распространение осесимметричного импульса в физически подкрепленных нелинейных цилиндрических оболочках, ^[4]
Распространение «солитона» в нелинейных линиях передачи. ^[5] или в волоконной оптике и лазерной физике. ^[6]

Уравнение

Уравнение Шамеля ^[2]

\phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,

где $\phi _{(t,x)}$ означает $\partial _{(t,x)}\phi$ . В случае ионно-звуковых уединенных волн параметр $b$ отражает влияние электронов, захваченных в минимуме электростатического потенциала $\phi$ . Это дано $b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}$ , где $\beta$ , параметр захвата, отражает состояние захваченных электронов, $\beta =0$ представляющее стационарное распределение захваченных электронов с плоской вершиной, $\beta <0$ провал или депрессия.Он держит $0\leq \phi \leq \psi \ll 1$ , где $\psi$ – амплитуда волны. Все величины нормированы: потенциальная энергия на тепловую энергию электронов, скорость на скорость звука ионов, время на обратную плазменную частоту ионов и пространство на дебаевскую длину электронов. Заметим, что для уравнения КдВ $b{\sqrt {\phi }}$ заменяется на $\phi$ так что нелинейность становится билинейной (см. ниже).

Решение для уединенной волны

Стационарное решение в виде уединенной волны, $\phi (x-v_{0}t)$ , задается в следующем кадре:

\phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)

v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.

Скорость конструкции сверхзвуковая, $v_{0}>1$ , с $b$ должен быть позитивным, $0<b$ , что в ионно-акустическом случае соответствует депрессивному распределению захваченных электронов $\beta <1$ . ^[2]^[7]

Доказательство методом псевдопотенциала.

Доказательство этого решения использует аналогию с классической механикой через
$\phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )$ с ${\mathcal {V}}(\phi )$ , являющийся соответствующим псевдопотенциалом. Отсюда путем интегрирования получаем: ${\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0$ , который представляет псевдоэнергию, и из уравнения Шамеля: $-{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}$ . Благодаря очевидному требованию, а именно, что при потенциальном максимуме $\phi =\psi$ , наклон $\phi _{x}$ из $\phi$ исчезает, мы получаем: ${\mathcal {V}}(\psi )=0$ . Это нелинейное дисперсионное соотношение (NDR), поскольку оно определяет фазовую скорость. $v_{0}$ заданное вторым выражением. Каноническая форма ${\mathcal {V}}(\phi )$ получается заменой $v_{0}$ с НДР. Это становится:

-{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).

Использование этого выражения в $x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}$ , которое следует из закона псевдоэнергии, при интегрировании дает:

x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).

Это обратная функция $\phi (x)$ как указано в первом уравнении. Заметим, что интеграл в знаменателе $x(\phi )$ существует и может быть выражено известными математическими функциями. Следовательно $\phi (x)$ — математически раскрытая функция. Однако структура часто остается математически нераскрытой, т. е. не может быть выражена известными функциями (см., например, раздел Логарифмическое уравнение Шамеля). Обычно это происходит, если задействовано более одного сценария захвата, как, например, при управляемой прерывистой плазменной турбулентности. ^[8]

Неинтегрируемость

В отличие от уравнения КдВ, уравнение Шамеля является примером неинтегрируемого эволюционного уравнения. Он имеет только конечное число (полиномиальных) констант движения. ^[9] и не проходит тест Пенлеве. ^[4]^[10] Поскольку так называемой пары Лакса ( L , P ) не существует, ^[11] оно не интегрируется обратным преобразованием рассеяния. ^[12]

Обобщения

Уравнение Шамеля–Кортевега–де Фриза

Учитывая следующий порядок в выражении для расширенной электронной плотности, получим $n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\cdots$ , откуда получаем псевдопотенциал - ${\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}}\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )$ . Соответствующее эволюционное уравнение тогда принимает вид:

\phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,

которое представляет собой уравнение Шамеля – Кортевега – де Фриза.

Его решение для уединенной волны имеет вид ^[7]

\phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}

с $y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}$ и $Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}$ . В зависимости от Q оно имеет два предельных уединенно-волновых решения: $1\ll Q$ мы находим $\phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)$ , уединенная волна Шамеля.

Для $1\gg Q$ мы получаем $\phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)$ который представляет собой обычный ионный акустический солитон. Последнее является жидкоподобным и достигается за $b=0$ или $\beta =1$ представляющее изотермическое уравнение состояния электрона. Заметим, что отсутствие эффекта захвата ( b = 0) не означает отсутствия эффекта захвата, что обычно искажается в литературе, особенно в учебниках. Пока $\psi$ ненулевое значение, всегда существует ненулевая ширина захвата $2{\sqrt {2\phi }}$ в пространстве скоростей для функции распределения электронов.

Логарифмическое уравнение Шамеля

Другое обобщение S-уравнения получается в случае ионно-звуковых волн за счет допущения второго канала захвата. Рассматривая дополнительный, непертурбативный сценарий захвата, Шамель ^[8] полученный:

$\qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0$ ,

обобщение, называемое логарифмическим S-уравнением. В отсутствие квадратной корневой нелинейности $b=0$ , она решается с помощью решения для дырок гауссовой формы: $\phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}$ с $D<0$ и имеет сверхзвуковую фазовую скорость
$v_{0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1$ . Соответствующий псевдопотенциал определяется выражением $-{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}}{2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}$ . Из этого следует $x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}$ что является обратной функцией упомянутой гауссианы. Для ненулевого b сохраняя $D$ , интеграл, чтобы получить $x(\phi )$ уже не может быть решена аналитически, т.е. с помощью известных математических функций. Уединенная волновая структура все еще существует, но не может быть достигнута в раскрытом виде.

Уравнение Шамеля со случайными коэффициентами

Тот факт, что электростатический захват включает в себя стохастические процессы при резонансе, вызванные хаотическими траекториями частиц, привел к рассмотрению b в S-уравнении как стохастическую величину. В результате получается стохастическое S-уравнение типа Вика. ^[13]^[14]

Дробное по времени уравнение Шамеля

Дальнейшее обобщение получается путем замены первой производной по времени дробной производной Рисса, что дает дробное по времени S-уравнение. ^[15]^[16] Он имеет применение, например, для широкополосного электростатического шума, наблюдаемого спутником «Викинг». ^[16]

Уравнение Шамеля – Шредингера

Связь между уравнением Шамеля и нелинейным уравнением Шредингера можно установить в контексте жидкости Маделунга. ^[17] В результате получается уравнение Шамеля – Шредингера. ^[6]

i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0

и имеет применение в волоконной оптике ^[18] и лазерная физика. ^[19]

Ссылки

^ Кортевег, диджей; де Врис, Г. (1895). «Об изменении формы длинных волн, наступающих в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240). Информа UK Limited: 422–443. дои : 10.1080/14786449508620739 . ISSN 1941-5982 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Шамель, Ганс (1973). «Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза для ионных акустических волн, обусловленных резонансными электронами». Журнал физики плазмы . 9 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 377–387. Бибкод : 1973JPlPh...9..377S . дои : 10.1017/s002237780000756x . ISSN 0022-3778 . S2CID 124961361 .
^ Шамель, Ганс (1986). «Электронные дырки, ионные дырки и двойные слои». Отчеты по физике . 140 (3). Эльзевир Б.В.: 161–191. дои : 10.1016/0370-1573(86)90043-8 . ISSN 0370-1573 .
^ Jump up to: ^а ^б Землянухин А.И.; Андрианов, ИВ; Бочкарев А.В.; Могилевич Л.И. (17.08.2019). «Обобщенное уравнение Шамеля в нелинейной волновой динамике цилиндрических оболочек». Нелинейная динамика . 98 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 185–194. дои : 10.1007/s11071-019-05181-5 . ISSN 0924-090X . S2CID 202126052 .
^ Азиз, Фара; Асиф, Али; Бинт-е-Мунир, Фатима (2020). «Аналитическое моделирование электрических солитонов в нелинейной линии передачи с использованием уравнения Шамеля – Кортевега де Фриза». Хаос, солитоны и фракталы . 134 . Elsevier BV: 109737. Бибкод : 2020CSF...13409737A . дои : 10.1016/j.chaos.2020.109737 . ISSN 0960-0779 . S2CID 216209164 .
^ Jump up to: ^а ^б С. Фибанчон и М.А. Аллен, Международные научные исследования и инновации 6 (2012) 18
^ Jump up to: ^а ^б Шамель, Х. (1972). «Стационарные уединенные, сноидальные и синусоидальные ионно-звуковые волны». Физика плазмы . 14 (10): 905. Бибкод : 1972ПлФ...14..905С . дои : 10.1088/0032-1028/14/10/002 .
^ Jump up to: ^а ^б Шамель, Ганс (30 сентября 2020 г.). «Двупараметрические, математически нераскрытые одиночные электронные дырки и их эволюционное уравнение» . Плазма . 3 (4). МДПИ АГ: 166–179. дои : 10.3390/plasma3040012 . ISSN 2571-6182 .
^ Верхист, Фрэнк; Хереман, Вилли (1 декабря 1994 г.). «Законы сохранения и уединенные волновые решения для обобщенных уравнений Шамеля». Физика Скрипта . 50 (6). Издательство ИОП: 611–614. Бибкод : 1994PhyS...50..611V . дои : 10.1088/0031-8949/50/6/002 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250799267 .
^ Р. Конте и М. Мюзетт: Справочник Пенлеве, Спрингер, Нью-Йорк (2008)
^ Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5). Уайли: 467–490. дои : 10.1002/cpa.3160210503 . ISSN 0010-3640 .
^ Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (6 ноября 1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Письма о физических отзывах . 19 (19). Американское физическое общество (APS): 1095–1097. Бибкод : 1967PhRvL..19.1095G . дои : 10.1103/physrevlett.19.1095 . ISSN 0031-9007 .
^ Абдель-Аты, А.-Х.; Хатер, ММА; Зидан, AM; Аттия, РАМ (2020). «Новые аналитические решения стохастического уравнения Шамеля КдВ фитильного типа с помощью модифицированного метода Хатера» . Журнал информатики и техники . 36 (6): 1279.
^ Ван, Сюэцинь; Шан, Ядонг; Ди, Хуахуэй (2017). «Точные решения для стохастического уравнения Шамеля-Кортевега-де Фриза фитильного типа» . Достижения математической физики . 2017 . Хиндави Лимитед: 1–9. дои : 10.1155/2017/4647838 . ISSN 1687-9120 .
^ Эль-Вакиль, ЮАР; Абулвафа, Эссам М.; Эль-Шеви, ЕК; Махмуд, Абир А. (2011). «Дробное по времени уравнение КдВ для плазмы двух электронов с разной температурой и неподвижного иона». Физика плазмы . 18 (9). Издательство AIP: 092116. Бибкод : 2011PhPl...18i2116E . дои : 10.1063/1.3640533 . ISSN 1070-664X .
^ Jump up to: ^а ^б Го, Шимин; Мэй, Лицюань; Он, Ялинг; Ли, Ибао (2016). «Дробное по времени уравнение Шамеля – КдВ для пылевых ионно-звуковых волн в парно-ионной плазме с захваченными электронами и пылевыми частицами противоположной полярности». Буквы по физике А. 380 (9–10). Эльзевир Б.В.: 1031–1036. Бибкод : 2016PhLA..380.1031G . doi : 10.1016/j.physleta.2016.01.002 . ISSN 0375-9601 .
^ Р. Феделе, Х. Шамель и П.К. Шукла, Phys. Скрипта том. Т98(2002)18
^ Г. П. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Нью-Йорк: Academic Press, 2001.
^ Буллоу, РК; Джек, премьер-министр; Китченсайд, PW; Сондерс, Р. (1979). «Солитоны в лазерной физике». Физика Скрипта . 20 (3–4). Издательство ИОП: 364–381. Бибкод : 1979PhyS...20..364B . дои : 10.1088/0031-8949/20/3-4/011 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250868125 .

Внешние ссылки

www.hans-schamel.de : дополнительная информация от Ганса Шамеля.

[myref1-1] Кортевег, диджей; де Врис, Г. (1895). «Об изменении формы длинных волн, наступающих в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240). Информа UK Limited: 422–443. дои : 10.1080/14786449508620739 . ISSN 1941-5982 .

[myref2-2] Jump up to: ^а ^б ^с Шамель, Ганс (1973). «Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза для ионных акустических волн, обусловленных резонансными электронами». Журнал физики плазмы . 9 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 377–387. Бибкод : 1973JPlPh...9..377S . дои : 10.1017/s002237780000756x . ISSN 0022-3778 . S2CID 124961361 .

[myref3-3] Шамель, Ганс (1986). «Электронные дырки, ионные дырки и двойные слои». Отчеты по физике . 140 (3). Эльзевир Б.В.: 161–191. дои : 10.1016/0370-1573(86)90043-8 . ISSN 0370-1573 .

[myref4-4] Jump up to: ^а ^б Землянухин А.И.; Андрианов, ИВ; Бочкарев А.В.; Могилевич Л.И. (17.08.2019). «Обобщенное уравнение Шамеля в нелинейной волновой динамике цилиндрических оболочек». Нелинейная динамика . 98 (1). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 185–194. дои : 10.1007/s11071-019-05181-5 . ISSN 0924-090X . S2CID 202126052 .

[myref5-5] Азиз, Фара; Асиф, Али; Бинт-е-Мунир, Фатима (2020). «Аналитическое моделирование электрических солитонов в нелинейной линии передачи с использованием уравнения Шамеля – Кортевега де Фриза». Хаос, солитоны и фракталы . 134 . Elsevier BV: 109737. Бибкод : 2020CSF...13409737A . дои : 10.1016/j.chaos.2020.109737 . ISSN 0960-0779 . S2CID 216209164 .

[myref6-6] Jump up to: ^а ^б С. Фибанчон и М.А. Аллен, Международные научные исследования и инновации 6 (2012) 18

[myref13-7] Jump up to: ^а ^б Шамель, Х. (1972). «Стационарные уединенные, сноидальные и синусоидальные ионно-звуковые волны». Физика плазмы . 14 (10): 905. Бибкод : 1972ПлФ...14..905С . дои : 10.1088/0032-1028/14/10/002 .

[myref8-8] Jump up to: ^а ^б Шамель, Ганс (30 сентября 2020 г.). «Двупараметрические, математически нераскрытые одиночные электронные дырки и их эволюционное уравнение» . Плазма . 3 (4). МДПИ АГ: 166–179. дои : 10.3390/plasma3040012 . ISSN 2571-6182 .

[myref9-9] Верхист, Фрэнк; Хереман, Вилли (1 декабря 1994 г.). «Законы сохранения и уединенные волновые решения для обобщенных уравнений Шамеля». Физика Скрипта . 50 (6). Издательство ИОП: 611–614. Бибкод : 1994PhyS...50..611V . дои : 10.1088/0031-8949/50/6/002 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250799267 .

[myref10-10] Р. Конте и М. Мюзетт: Справочник Пенлеве, Спрингер, Нью-Йорк (2008)

[myref11-11] Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5). Уайли: 467–490. дои : 10.1002/cpa.3160210503 . ISSN 0010-3640 .

[myref12-12] Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (6 ноября 1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Письма о физических отзывах . 19 (19). Американское физическое общество (APS): 1095–1097. Бибкод : 1967PhRvL..19.1095G . дои : 10.1103/physrevlett.19.1095 . ISSN 0031-9007 .

[myref14-13] Абдель-Аты, А.-Х.; Хатер, ММА; Зидан, AM; Аттия, РАМ (2020). «Новые аналитические решения стохастического уравнения Шамеля КдВ фитильного типа с помощью модифицированного метода Хатера» . Журнал информатики и техники . 36 (6): 1279.

[myref15-14] Ван, Сюэцинь; Шан, Ядонг; Ди, Хуахуэй (2017). «Точные решения для стохастического уравнения Шамеля-Кортевега-де Фриза фитильного типа» . Достижения математической физики . 2017 . Хиндави Лимитед: 1–9. дои : 10.1155/2017/4647838 . ISSN 1687-9120 .

[myref16-15] Эль-Вакиль, ЮАР; Абулвафа, Эссам М.; Эль-Шеви, ЕК; Махмуд, Абир А. (2011). «Дробное по времени уравнение КдВ для плазмы двух электронов с разной температурой и неподвижного иона». Физика плазмы . 18 (9). Издательство AIP: 092116. Бибкод : 2011PhPl...18i2116E . дои : 10.1063/1.3640533 . ISSN 1070-664X .

[myref17-16] Jump up to: ^а ^б Го, Шимин; Мэй, Лицюань; Он, Ялинг; Ли, Ибао (2016). «Дробное по времени уравнение Шамеля – КдВ для пылевых ионно-звуковых волн в парно-ионной плазме с захваченными электронами и пылевыми частицами противоположной полярности». Буквы по физике А. 380 (9–10). Эльзевир Б.В.: 1031–1036. Бибкод : 2016PhLA..380.1031G . doi : 10.1016/j.physleta.2016.01.002 . ISSN 0375-9601 .

[myref18-17] Р. Феделе, Х. Шамель и П.К. Шукла, Phys. Скрипта том. Т98(2002)18

[myref19-18] Г. П. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Нью-Йорк: Academic Press, 2001.

[myref20-19] Буллоу, РК; Джек, премьер-министр; Китченсайд, PW; Сондерс, Р. (1979). «Солитоны в лазерной физике». Физика Скрипта . 20 (3–4). Издательство ИОП: 364–381. Бибкод : 1979PhyS...20..364B . дои : 10.1088/0031-8949/20/3-4/011 . ISSN 0031-8949 . S2CID 250868125 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]