η набор

В математике η множество ( эта-множество ) — это тип полностью упорядоченного множества, введенный Хаусдорфом ( 1907 , стр. 126, 1914 , глава 6, раздел 8), который обобщает тип порядка η рациональных чисел.

Определение

Если $\alpha$ является порядковым номером, то $\eta _{\alpha }$ множество — это полностью упорядоченное множество, в котором для любых двух подмножеств $X$ и $Y$ мощности меньше $\aleph _{\alpha }$, если каждый элемент $X$ меньше, чем каждый элемент $Y$ тогда существует какой-то элемент, больший, чем все элементы $X$ и меньше, чем все элементы $Y$.

Примеры

Единственным непустым счетным ( _{множеством п0} с точностью до изоморфизма) является упорядоченное множество рациональных чисел.

Предположим, что κ = ℵ _α — регулярный кардинал , и пусть X — множество всех функций f от κ до {−1,0,1} таких, что если f ( α ) = 0, то f ( β ) = 0 для всех β > α , упорядоченный лексикографически. Тогда X — множество п _а . Объединение всех этих множеств представляет собой класс сюрреалистических чисел .

Плотное полностью упорядоченное множество без концов является множеством η _α тогда и только тогда, когда оно ℵ _α насыщено .

Характеристики

Любое η _α множество X является универсальным для полностью упорядоченных множеств мощности не более ℵ _α , а это означает, что любой такой набор можно вложить в X .

Для любого заданного ординала α любые два множества η _α мощности ℵ _α изоморфны (как упорядоченные множества). Множество η _α мощности ℵ _α существует, если ℵ _α регулярно и Σ _{β < α} 2 ^{ℵ _б} ≤ ℵ _а .

Ссылки

• Аллинг, Норман Л. (1962), «О существовании вещественно-замкнутых полей, которые представляют собой η _α -множества степени ℵ _α .», Trans. амер. Математика. Соц. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR   0146089
• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN  978-0-444-88054-3 .
• Фельгнер, У. (2002), «Теория Хаусдорфа множеств ηα и их история эффектов» (PDF) , Собрание сочинений Хаусдорфа , том. II, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. 645–674.
• Хаусдорф (1907), «Исследования типов порядка V», Бер. о королевских переговорах. Саксонский. Гес. В Лейпциг. Матем.-физ. Class , 59 : 105–159 Английский перевод в Хаусдорфе (2005)
• Хаусдорф, Ф. (1914), Основы теории множеств , Лейпциг: Veit & Co.
• Хаусдорф, Феликс (2005), Плоткин, Дж. М. (редактор), Хаусдорф об упорядоченных множествах , История математики, том. 25, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-3788-5 , МР   2187098