Формула Спитцера

В вероятностей теории формула Спитцера или тождество Спитцера дает совместное распределение частичных сумм и максимальных частичных сумм набора случайных величин. Результат был впервые опубликован Фрэнком Спитцером в 1956 году. Формула рассматривается как «ступенька в теории сумм независимых случайных величин».

Формулировка теоремы

Позволять $X_{1},X_{2},...$ быть независимыми и одинаково распределенными случайными величинами и определять частичные суммы $S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$. Определять $R_{n}={\text{max}}(0,S_{1},S_{2},...S_{n})$. Затем

$\sum _{n=0}^{\infty }\phi _{n}(\alpha ,\beta )t^{n}=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\left(u_{n}(\alpha )+v_{n}(\beta )-1\right)\right]$

где

${\begin{aligned}\phi _{n}(\alpha ,\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i(\alpha R_{n}+\beta (R_{n}-S_{n})\right])\\u_{n}(\alpha )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\alpha S_{n}^{+}\right])\\v_{n}(\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\beta S_{n}^{-}\right])\end{aligned}}$

и С ^± обозначает (| S | ± S )/2.

Доказательство

Известны два доказательства, принадлежащие Спитцеру. и Вендель.