Неравенство Бхатиа – Дэвиса

В математике неравенство Бхатиа-Дэвиса , названное в честь Раджендры Бхатиа и Чендлера Дэвиса , является верхней границей дисперсии . σ ² любого ограниченного распределения вероятностей на действительной прямой.

Заявление

Пусть m нижняя и верхняя границы соответственно для набора действительных чисел a ₁ , ..., an _n . с определенным распределением вероятностей и M — Пусть μ будет ожидаемым значением этого распределения.

Тогда неравенство Бхатиа – Дэвиса гласит:

$\sigma ^{2}\leq (M-\mu )(\mu -m).\,$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда каждый a _j в наборе значений равен либо M , либо m .

Доказательство

С $m\leq A\leq M$,

$0\leq \mathbb {E} [(M-A)(A-m)]=-\mathbb {E} [A^{2}]-mM+(m+M)\mu$.

Таким образом,

$\sigma ^{2}=\mathbb {E} [A^{2}]-\mu ^{2}\leq -mM+(m+M)\mu -\mu ^{2}=(M-\mu )(\mu -m)$.

Расширения неравенства Бхатиа – Дэвиса

Если $\Phi$ есть положительное и единичное линейное отображение С* -алгебры ${\mathcal {A}}$ в C* -алгебру ${\mathcal {B}}$, а A — самосопряженный элемент ${\mathcal {A}}$ удовлетворение м $\leq$ А $\leq$ М , тогда:

$\Phi (A^{2})-(\Phi A)^{2}\leq (M-\Phi A)(\Phi A-m)$.

Если ${\mathit {X}}$ — дискретная случайная величина такая, что

$P(X=x_{i})=p_{i},$ где $i=1,...,n$, затем:

$s_{p}^{2}=\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}-(\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i})^{2}\leq (M-\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i})(\sum _{1}^{n}p_{i}x_{i}-m)$,

где $0\leq p_{i}\leq 1$ и $\sum _{1}^{n}p_{i}=1$.

Сравнение с другими неравенствами

Неравенство Бхатиа-Дэвиса сильнее, чем неравенство Поповичиу в отношении дисперсий (обратите внимание, однако, что неравенство Поповичиу не требует знания математического ожидания или среднего значения), как видно из условий равенства. Равенство выполняется в неравенстве Поповичу тогда и только тогда, когда половина a j _равна верхним границам, а половина a j _равна нижним границам. Кроме того, Шарма внес дальнейшие уточнения в неравенство Бхатиа – Дэвиса.

См. также

• Крамер-Рао на границе
• Чепмен-Роббинс связан
• Неравенство Поповичу о дисперсиях