Задача Гудерлея–Ландау–Станюковича.

Задача Гудерлея–Ландау–Станюковича описывает эволюцию во времени сходящихся ударных волн . Проблема обсуждалась Г. Гудерли в 1942 г. ^{[ 1 ]} и независимо Львом Ландау и К.П. Станюковичем в 1944 г., где анализ более поздних авторов был опубликован в 1955 г. ^{[ 2 ]}

Математическое описание

Рассмотрим сферически сходящуюся ударную волну, инициированную каким-либо образом в радиальном месте. $r=R_{0}$ и направлен в сторону центра. По мере того как ударная волна движется к источнику, ее сила увеличивается, поскольку по мере распространения ударная волна сжимает все меньше и меньше массы. Местоположение ударной волны $r=R(t)$ таким образом, меняется со временем. Описываемое автомодельное решение соответствует области $r\sim R\ll R_{0}$ , то есть ударная волна прошла достаточно, чтобы забыть о начальном состоянии.

Поскольку ударная волна в автомодельной области сильная, давление за волной $p_{1}$ очень велико по сравнению с давлением перед волной $p_{0}$ . Согласно условиям Рэнкина–Гюгонио , для сильных волн, хотя $p_{1}\gg p_{0}$ , $\rho _{1}\sim \rho _{0}$ , где $\rho$ представляет плотность газа; другими словами, скачок плотности поперек ударной волны конечен. Таким образом, для анализа можно предположить $p_{0}=0$ и $\rho _{0}\neq 0$ , что, в свою очередь, удаляет шкалу скорости, устанавливая $c_{0}=0$ с $c_{0}^{2}=\gamma p_{0}/\rho _{0}$ .

Здесь стоит отметить, что аналогичная задача, в которой, как известно, сильная ударная волна, распространяющаяся наружу, описывается взрывной волной Тейлора – фон Неймана – Седова . В описании взрывной волны Тейлора – фон Неймана – Седова используется $\rho _{0}$ и полное энергосодержание потока для разработки автомодельного решения. В отличие от этой задачи, схлопывающаяся ударная волна не является самоподобной во всей области (поле течения вблизи $r=R_{0}$ зависит от способа генерации ударной волны) и, таким образом, задача Гудерли–Ландау–Станюковича пытается автомодельным образом описать поле течения только для $r\sim R\ll R_{0}$ ; в этой самоподобной области энергия не является постоянной и фактически будет уменьшаться со временем (общая энергия всей области все еще постоянна). Поскольку автомодельная область мала по сравнению с первоначальным размером области ударной волны, в автомодельной области аккумулируется лишь малая часть полной энергии. Таким образом, задача не содержит масштаба длины, позволяющего использовать размерные аргументы для нахождения самоподобного описания, т. е. зависимости $R(t)$ на $t$ не может быть определена только с помощью размерных аргументов. Задачи такого рода описываются автомодельным решением второго рода .

Для удобства отмерьте время $t$ такая, что сходящаяся ударная волна достигает начала координат за время $t=0$ . Для $t<0$ сходящийся скачок приближается к началу координат и для $t>0$ , отраженная ударная волна выходит из очага. Место ударной волны $r=R(t)$ предполагается, что он описывается функцией

R(t)=A(-t)^{\alpha }

где $\alpha$ – индекс сходства и $A$ является константой. Отраженный шок возникает с тем же индексом подобия. Стоимость $\alpha$ определяется из условия существования автомодельного решения, а константа $A$ не могут быть описаны с помощью самоподобного анализа; константа $A$ содержит информацию из региона $r\sim R_{0}$ и поэтому может быть определен только тогда, когда решена вся область течения. Размерность $A$ будет найден только после решения $\alpha$ . Для взрывной волны Тейлора – фон Неймана – Седова аргументы размерностей можно использовать для получения $\alpha =2/5.$

Скорость ударной волны определяется выражением

D={\frac {dR}{dt}}=-\alpha A(-t)^{\alpha -1}={\frac {\alpha R}{t}}.

Согласно условиям Рэнкина–Гюгонио скорость газа $v_{1}$ , давление $p_{1}$ и плотность $\rho _{1}$ сразу за фронтом сильной ударной волны для идеального газа определяются выражениями

v_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}D,\quad p_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}\rho _{0}D^{2},\quad \rho _{1}=\rho _{0}{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}.

Они будут служить граничными условиями течения за фронтом ударной волны.

Самоподобное решение

Основные уравнения:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial r}}&=-\rho \left({\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {2v}{r}}\right),\\{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}},\\{\frac {\partial s}{\partial t}}+v{\frac {\partial s}{\partial r}}&=0\end{aligned}}

где $\rho$ плотность, $p$ это давление, $s$ это энтропия и $v$ — лучевая скорость. Вместо давления $p(r,t)$ , мы можем использовать скорость звука $c(r,t)$ используя отношение $c^{2}=\gamma p/\rho$ .

Для получения автомодельных уравнений введем ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

\xi ={\frac {r}{R(t)}},\quad V(\xi )={\frac {vt}{\alpha r}},\quad G(\xi )={\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad Z(\xi )={\frac {c^{2}t^{2}}{\alpha ^{2}r^{2}}}.

Обратите внимание, что поскольку оба $t$ и $v$ являются отрицательными, $V>0$ . Формально решение должно быть найдено для диапазона $1<\xi <\infty$ . Граничные условия при $\xi =1$ даны

V(1)={\frac {2}{\gamma +1}},\quad G(1)={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}},\quad Z(1)={\frac {2\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}.

Граничные условия при $\xi =\infty$ можно получить из наблюдения в момент коллапса $t=0$ , при этом $\xi$ становится бесконечным. В момент коллапса переменные потока на любом расстоянии от начала координат должны быть конечными, т.е. $v$ и $c^{2}$ должно быть конечным для $t=0,\,r\neq 0$ . Это возможно только в том случае, если

V(\infty )=0,\quad Z(\infty )=0.

Подстановка самоподобных переменных в основные уравнения приводит к

{\begin{aligned}(1-V){\frac {dV}{d\ln \xi }}-{\frac {Z}{\gamma }}{\frac {d\ln G}{d\ln \xi }}-{\frac {1}{\gamma }}{\frac {dZ}{d\ln \xi }}&={\frac {2}{\gamma }}Z-V\left({\frac {1}{\alpha }}-V\right),\\{\frac {dV}{d\ln \xi }}-(1-V){\frac {d\ln G}{d\ln \xi }}&=-3V,\\(\gamma -1)Z{\frac {d\ln G}{d\ln \xi }}-{\frac {dZ}{d\ln \xi }}&={\frac {2Z}{1-V}}\left({\frac {1}{\alpha }}-V\right).\end{aligned}}

Отсюда мы можем легко решить $d\ln G/d\ln \xi$ и $d\ln V/d\ln \xi$ (или, $d\ln Z/d\ln \xi$ ), чтобы найти два уравнения. В качестве третьего уравнения мы могли бы использовать два уравнения, исключив переменную $\xi$ . Полученные уравнения:

{\begin{aligned}{\frac {d\ln \xi }{dV}}&=-{\frac {\Delta }{\Delta _{1}}},\\(1-V){\frac {d\ln G}{d\ln \xi }}&=3V-{\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\\{\frac {dZ}{dV}}&={\frac {Z}{1-V}}\left\{{\frac {\Delta [2/\alpha -(3\gamma -1)V]}{\Delta _{1}}}+\gamma -1\right\}\end{aligned}}

где $\Delta =Z-(1-V)^{2}$ и $\Delta _{1}=[3V-2(1-\alpha )/\alpha \gamma ]Z-V(1-V)(1/\alpha -V)$ . В этом легко убедиться, если решить третье уравнение относительно $Z=Z(V)$ , первые два уравнения можно проинтегрировать с помощью простых квадратур.

Третье уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для функции $Z(V)$ с граничным условием $Z(2/(\gamma +1))=2\gamma (\gamma -1)/(\gamma +1)^{2}$ относительно состояния за фронтом ударной волны. Но есть еще одно граничное условие, которое должно быть удовлетворено, т.е. $Z(0)=0$ относящийся к состоянию, обнаруженному в $\xi =\infty$ . Это дополнительное условие может быть выполнено не для любого произвольного значения $\alpha$ , но существует только одно значение $\alpha$ для которого может быть выполнено второе условие. Таким образом $\alpha$ получается как собственное значение. Это собственное значение можно получить численно.

Состояние, определяющее $\alpha$ можно объяснить, построив интегральную кривую $Z=Z(V)$ как показано на рисунке сплошной кривой. Суть $A$ – начальное условие дифференциального уравнения, т. е. $A:(V,Z)=(2/(\gamma +1),2\gamma (\gamma -1)/(\gamma +1)^{2})$ . Интегральная кривая должна заканчиваться в точке $O:(V,Z)=(0,0)$ . На этом же рисунке парабола $Z=(1-V)^{2}$ соответствующее условию $\Delta =0$ также изображается в виде пунктирной кривой. Это можно легко показать, чем точка $A$ всегда лежит выше этой параболы. Это означает, что интегральная кривая $Z=Z(V)$ должен пересечь параболу, чтобы достичь точки $O$ . Во всех трех дифференциальных уравнениях соотношение $\Delta /\Delta _{1}$ Это означает, что это соотношение обращается в нуль в точке $B$ где интегральная кривая пересекает параболу. Физические требования к функциям $V,\,G$ и $Z$ заключается в том, что они должны быть однозначными функциями $\xi$ чтобы получить уникальное решение. Это означает, что функции $\xi (V),\,\xi (G)$ и $\xi (Z)$ не может иметь экстремумов нигде внутри области. Но в точку $B$ , $\Delta /\Delta _{1}$ может исчезнуть, что указывает на то, что указанные функции имеют экстремумы. Единственный способ избежать этой ситуации — сделать соотношение $\Delta /\Delta _{1}$ в $B$ конечно. То есть, как $\Delta$ становится нулевым, нам требуется $\Delta _{1}$ также быть равным нулю таким образом, чтобы получить $\Delta /\Delta _{1}=0/0={\text{finite}}$ . В $B$ ,

Z=(1-V)^{2},\quad (3V-2(1-\alpha )/\alpha \gamma )Z=V(1-V)(1/\alpha -V).

Численное интегрирование третьего уравнения дает $\alpha =0.6883740859$ для $\gamma =5/3$ и $\alpha =0.7171745015$ для $\gamma =7/5$ . Эти значения для $\alpha$ можно сравнить с приближенной формулой $\alpha =[1+2\gamma /({\sqrt {\gamma }}+{\sqrt {2}})^{2}]^{-1}$ , выведенная Ландау и Станюковичем. Можно установить, что как $\gamma \rightarrow 1$ , $\alpha \rightarrow 1$ . В целом индекс сходства $\alpha$ это иррациональное число .

См. также

Ссылки

^ Гудерли, К.Г. (1942). Прочные сферические и цилиндрические компрессионные соединения вблизи центральной точки сферы bnw. ось цилиндра. Авиационные исследования, 19, 302.
^ Станюкович, КП (2016). Нестационарное движение сплошных сред. Эльзевир.
^ Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2000). Механика жидкости (Курс теоретической физики, том 6). Reed Educational and Professional Publishing Ltd.
^ Зельдович, Ю.Б., Райзер, Ю.П., Хейс, В.Д., и Пробштейн, РФ (1967). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Том. 2 (стр. 685-784). Нью-Йорк: Академическая пресса.
^ Седов Л.И., Волковец А.Г. (2018). Методы подобия и размерности в механике. ЦРК Пресс.

[1] Гудерли, К.Г. (1942). Прочные сферические и цилиндрические компрессионные соединения вблизи центральной точки сферы bnw. ось цилиндра. Авиационные исследования, 19, 302.

[2] Станюкович, КП (2016). Нестационарное движение сплошных сред. Эльзевир.

[3] Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2000). Механика жидкости (Курс теоретической физики, том 6). Reed Educational and Professional Publishing Ltd.

[4] Зельдович, Ю.Б., Райзер, Ю.П., Хейс, В.Д., и Пробштейн, РФ (1967). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Том. 2 (стр. 685-784). Нью-Йорк: Академическая пресса.

[5] Седов Л.И., Волковец А.Г. (2018). Методы подобия и размерности в механике. ЦРК Пресс.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]