Биортогональный полином

В математике биортогональный многочлен — это многочлен, ортогональный нескольким различным мерам. Биортогональные полиномы являются обобщением ортогональных полиномов и имеют многие из их свойств. В литературе существуют две разные концепции биортогональных полиномов: Изерлес и Норсетт (1988) ввели концепцию полиномов, биортогональных относительно последовательности мер, а Сегё ввел концепцию двух последовательностей полиномов, биортогональных друг другу. .

Полиномы, биортогональные относительно последовательности мер

Полином p называется биортогональным относительно последовательности мер µ ₁ , µ ₂ , ..., если

$\int p(x)\,d\mu _{i}(x)=0$ всякий раз, когда я ≤ deg( p ).

Биортогональные пары последовательностей

Две последовательности полиномов ψ ₀ , ψ ₁ , ... и φ ₀ , φ ₁ , ... называются биортогональными (для некоторой меры µ ), если

$\int \phi _{m}(x)\psi _{n}(x)\,d\mu (x)=0$

всякий раз, когда m ≠ n .

Определение биортогональных пар последовательностей является в некотором смысле частным случаем определения биортогональности по отношению к последовательности мер. Точнее, две последовательности полиномов ψ ₀ , ψ ₁ , ... и φ ₀ , φ ₁ , ... биортогональны для меры µ тогда и только тогда, когда последовательность ψ ₀ , ψ ₁ , ... биортогональна для последовательность мер φ ₀ µ, φ ₁ µ, ..., причем последовательность φ ₀ , φ ₁ , ... биортогональна последовательности мер ψ ₀ µ, ψ ₁ µ,....

Ссылки

• Изерлес, Арье; Норсетт, Сиверт Пол (1988), «К теории биортогональных полиномов», Труды Американского математического общества , 306 (2): 455–474, doi : 10.2307/2000806 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   2000806 , MR   0933301