Ортогональные полиномы

В математике последовательность ортогональных полиномов представляет собой семейство полиномов , в котором любые два разных полинома в последовательности ортогональны друг другу относительно некоторого скалярного произведения .

Наиболее широко используемые ортогональные полиномы — классические ортогональные полиномы , состоящие из полиномов Эрмита , полиномов Лагерра и полиномов Якоби . составляют Полиномы Гегенбауэра наиболее важный класс полиномов Якоби; они включают полиномы Чебышева и полиномы Лежандра как частные случаи.

Область ортогональных полиномов возникла в конце 19 в. на основе изучения цепных дробей П. Л. Чебышевым и развивалась А. А. Марковым и Т. Дж. Стилтьесом . Они появляются в самых разных областях: численный анализ ( правила квадратур ), теория вероятностей , теория представлений ( групп Ли , квантовых групп и связанных с ними объектов), перечислительная комбинаторика , алгебраическая комбинаторика , математическая физика (теория случайных матриц , интегрируемых системы и т. д.), а также теорию чисел . Некоторые из математиков, которые работали над ортогональными полиномами, включают Габора Сегё , Сергея Бернштейна , Наума Ахиезера , Артура Эрдейи , Якова Геронимуса , Вольфганга Хана , Теодора Сейо Чихару , Мурада Исмаила , Валида Аль-Салама , Ричарда Аски и Рехуэля Лобатто .

Определение случая с 1 переменной для реальной меры

Учитывая любую неубывающую функцию α действительных чисел, мы можем определить интеграл Лебега – Стилтьеса

$$\int f(x)\,d\alpha (x)$$

функции f . Если этот интеграл конечен для всех полиномов f , мы можем определить скалярное произведение на парах полиномов f и g по формуле

$$\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$$

Эта операция представляет собой положительно полуопределенный скалярный продукт в векторном пространстве всех многочленов и является положительно определенной, если функция α имеет бесконечное количество точек роста. Он вводит понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.

Тогда последовательность ( P _n ) ^∞
_{n =0} ортогональных полиномов определяется соотношениями

$$\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.$$

Другими словами, последовательность получается из последовательности мономов 1, x , x ² , … процессом Грама – Шмидта относительно этого внутреннего продукта.

Обычно от последовательности требуется, чтобы она была ортонормированной , а именно:

$$\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$$

однако иногда используются другие нормализации.

Абсолютно непрерывный случай

Иногда у нас есть

$$d\alpha (x)=W(x)\,dx$$

где

$$W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$$

— неотрицательная функция с носителем на некотором интервале [ x ₁ , x ₂ ] вещественной прямой (где x ₁ = −∞ и x ₂ = ∞ допускаются). Такая W называется весовой функцией . Тогда внутренний продукт определяется выражением

$$\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$$

Однако существует много примеров ортогональных полиномов, где мера dα ( x ) имеет точки с ненулевой мерой, где функция α является разрывной, поэтому не может быть задана весовой функцией W , как указано выше.

Примеры ортогональных многочленов

Наиболее часто используемые ортогональные полиномы ортогональны для меры с поддержкой в ​​действительном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные полиномы ( полиномы Якоби , полиномы Лагерра , полиномы Эрмита и их частные случаи, полиномы Гегенбауэра , полиномы Чебышева и полиномы Лежандра ).
• Полиномы Вильсона , которые обобщают полиномы Якоби. Они включают в себя множество ортогональных полиномов как частные случаи, такие как полиномы Мейкснера – Поллачека , непрерывные полиномы Хана , непрерывные двойственные полиномы Хана и классические полиномы, описываемые схемой Аски.
• Полиномы Аски – Вильсона вводят дополнительный параметр q в полиномы Вильсона.

Дискретные ортогональные полиномы ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных полиномов является конечным, а не бесконечной последовательностью. Полиномы Рака являются примерами дискретных ортогональных полиномов и включают в качестве особых случаев полиномы Хана и двойственные полиномы Хана , которые, в свою очередь, включают в себя в качестве особых случаев полиномы Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье .

Мейкснер классифицировал все ортогональные последовательности Шеффера : есть только Эрмита, Лагерра, Шарлье, Мейкснера и Мейкснера-Полачека. В каком-то смысле Кравчук тоже должен быть в этом списке, но они представляют собой конечную последовательность. Эти шесть семейств соответствуют NEF-QVF и представляют собой мартингальные полиномы для некоторых процессов Леви .

Просеянные ортогональные полиномы , такие как просеянные ультрасферические полиномы , просеянные полиномы Якоби и просеянные полиномы Поллачека , имеют модифицированные рекуррентные отношения.

Можно также рассматривать ортогональные полиномы для некоторой кривой на комплексной плоскости. Самый важный случай (кроме действительных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичную окружность, давая ортогональные полиномы на единичной окружности , такие как полиномы Роджерса – Сеге .

Существуют некоторые семейства ортогональных полиномов, которые ортогональны в плоских областях, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, полиномы Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между полиномами Эрмита разных порядков применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением каналов (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки может содержаться более одного символа.

Свойства

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на вещественной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены P _n можно выразить через моменты

$m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)$

следующее:

$P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,$

где константы cn _{произвольны (} зависят от нормировки Pn ₎ .

Это происходит непосредственно в результате применения процесса Грама – Шмидта к мономам, при котором каждый многочлен становится ортогональным относительно предыдущих. Например, ортогональность с $P_{0}$ предписывает, что $P_{1}$ должен иметь форму

$$P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$$

которое, как можно видеть, согласуется с ранее данным выражением с определителем.

Рекуррентное отношение

Полиномы P _n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

$P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)$

где An _не равно 0. Обратное также верно; см. теорему Фавара .

Формула Кристоффеля-Дарбу

Основная статья: формула Кристоффеля – Дарбу

Нули

Если мера d α поддерживается на интервале [ a , b ], все нули Pn _a лежат в [ , b ] . Более того, нули обладают следующим свойством переплетения: если m < n находится нуль P _n , то между любыми двумя нулями P _m . Можно дать электростатическую интерпретацию нулей.

Комбинаторная

С 1980-х годов благодаря работам К. Г. Вьенно, Ж. Лабеля, Ю.-Н. Йе, Д. Фоата и др., комбинаторные интерпретации были найдены для всех классических ортогональных многочленов.

типы

ортогональные

Полиномы Макдональда являются ортогональными полиномами от нескольких переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств ортогональных полиномов с множеством переменных в качестве особых случаев, в том числе полиномы Джека , полиномы Холла-Литтлвуда , полиномы Хекмана-Опдама и полиномы Курнвиндера . Полиномы Аски – Вильсона являются частным случаем полиномов Макдональда для некоторой неприводимой системы корней ранга 1.

Множественные ортогональные полиномы

Основная статья: Множественные ортогональные полиномы

Множественные ортогональные полиномы — это полиномы от одной переменной, ортогональные относительно конечного семейства мер.

Sobolev orthogonal polynomials

Основная статья: Ортогональные полиномы Соболева

Это ортогональные полиномы относительно скалярного произведения Соболева , т.е. скалярного произведения с производными. Включение производных имеет большие последствия для полиномов: в целом они больше не имеют некоторых хороших особенностей классических ортогональных полиномов.

Ортогональные полиномы с матрицами

Ортогональные полиномы с матрицами имеют либо коэффициенты, которые являются матрицами, либо неопределенная величина является матрицей.

Есть два популярных примера: либо коэффициенты $\{a_{i}\}$ являются матрицами или $x$:

• Версия 1: $P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}$, где $\{A_{i}\}$ являются $p\times p$ матрицы.
• Вариант 2: $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}$ где $X$ это $p\times p$-матрица и $I_{p}$ это матрица идентичности.

Квантовые

Квантовые полиномы или q-полиномы являются q-аналогами ортогональных полиномов.

См. также

• Последовательность апелляции
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных полиномов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма – Лиувилля
• Теневое исчисление
• Асимптотика Планшереля – Ротаха.

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные полиномы . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN  0-677-04150-0 .
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональных полиномов: взгляд из-за кулис» . Труды Пятого международного симпозиума по ортогональным полиномам, специальным функциям и их приложениям (Патрас, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики . 133 (1): 13–21. Бибкод : 2001JCoAM.133...13C . дои : 10.1016/S0377-0427(00)00632-4 . ISSN   0377-0427 . МР   1858267 .
• Фонканнон, Джей-Джей; Фонканнон, Джей-Джей; Пеконен, Осмо (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных полиномов от одной переменной Мурада Исмаила». Математический интеллект . 30 . Спрингер Нью-Йорк: 54–60. дои : 10.1007/BF02985757 . ISSN   0343-6993 . S2CID   118133026 .
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN  0-521-78201-5 .
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные полиномы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-43808-2 .
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• «Ортогональные полиномы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные полиномы . Публикации коллоквиума. Том XXIII. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1023-1 . МР   0372517 .
• Тотик, Вилмос (2005). «Ортогональные полиномы». Обзоры по теории приближений . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv : 1712.03155 .