Sequence of differential equation solutions
Комплексный цветовой график полинома Лагерра L n(x) с n как -1, разделенным на 9, и x как z в степени 4 от -2-2i до 2+2i В математике полиномы Лагерра , названные в честь Эдмона Лагерра (1834–1886), являются нетривиальными решениями дифференциального уравнения Лагерра: x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 , y = y ( x ) {\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=y(x)} которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение . Это уравнение имеет неособые решения только в том случае, если n — целое неотрицательное число.
Иногда название полиномы Лагерра используется для решения задачи x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 . {\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.} n по-прежнему является неотрицательным целым числом.Тогда их еще называют обобщенными полиномами Лагерра , как это будет сделано здесь (альтернативно связанные полиномы Лагерра или, реже, полиномы Сонина , по имени их изобретателя [1] Nikolay Yakovlevich Sonin ).
В более общем смысле, функция Лагерра является решением, когда n не обязательно является неотрицательным целым числом.
Полиномы Лагерра также используются в квадратуре Гаусса – Лагерра для численного вычисления интегралов вида ∫ 0 ∞ f ( x ) e − x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}
Эти полиномы, обычно обозначаемые L 0 L 1 полиномиальную последовательность , которая может быть определена формулой Родригеса :
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) = 1 n ! ( d d x − 1 ) n x n , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}
Это ортогональные полиномы относительно скалярного произведения. ⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
Ладейные полиномы в комбинаторике более или менее аналогичны полиномам Лагерра, с точностью до элементарных замен переменных. Далее см. полиномы Трикоми – Карлица .
Полиномы Лагерра возникают в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для одноэлектронного атома. Они также описывают статические функции Вигнера колебательных систем в квантовой механике в фазовом пространстве . Далее они входят в квантовую механику потенциала Морса и трехмерного изотропного гармонического осциллятора .
Физики иногда используют определение полиномов Лагерра, большее в n раз ! чем используемое здесь определение. (Аналогично некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых связанных полиномов Лагерра.)
Это первые несколько полиномов Лагерра:
н L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} 2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\,} 3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} 4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} 5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} 6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,} 7 1 5040 ( − x 7 + 49 x 6 − 882 x 5 + 7350 x 4 − 29400 x 3 + 52920 x 2 − 35280 x + 5040 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{5040}}(-x^{7}+49x^{6}-882x^{5}+7350x^{4}-29400x^{3}+52920x^{2}-35280x+5040)\,} 8 1 40320 ( x 8 − 64 x 7 + 1568 x 6 − 18816 x 5 + 117600 x 4 − 376320 x 3 + 564480 x 2 − 322560 x + 40320 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{40320}}(x^{8}-64x^{7}+1568x^{6}-18816x^{5}+117600x^{4}-376320x^{3}+564480x^{2}-322560x+40320)\,} 9 1 362880 ( − x 9 + 81 x 8 − 18144 x 7 + 42336 x 6 − 381024 x 5 + 1905120 x 4 − 5080320 x 3 + 6531840 x 2 − 3265920 x + 362880 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{362880}}(-x^{9}+81x^{8}-18144x^{7}+42336x^{6}-381024x^{5}+1905120x^{4}-5080320x^{3}+6531840x^{2}-3265920x+362880)\,} 10 1 3628800 ( x 10 − 100 x 9 + 4050 x 8 − 86400 x 7 + 1058400 x 6 − 7620480 x 5 + 31752000 x 4 − 72576000 x 3 + 81648000 x 2 − 36288000 x + 3628800 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{3628800}}(x^{10}-100x^{9}+4050x^{8}-86400x^{7}+1058400x^{6}-7620480x^{5}+31752000x^{4}-72576000x^{3}+81648000x^{2}-36288000x+3628800)\,} н 1 n ! ( ( − x ) n + n 2 ( − x ) n − 1 + ⋯ + n ( n ! ) ( − x ) + n ! ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n!}}((-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+\dots +n({n!})(-x)+n!)\,}
Первые шесть полиномов Лагерра. Можно также определить полиномы Лагерра рекурсивно, определив первые два полинома как L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1} L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x} рекуррентное соотношение для любого k ≥ 1 L k + 1 ( x ) = ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.} x L n ′ ( x ) = n L n ( x ) − n L n − 1 ( x ) . {\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}
При решении некоторых краевых задач могут оказаться полезными характеристические значения: L k ( 0 ) = 1 , L k ′ ( 0 ) = − k . {\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}
– Закрытая форма это L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}
Производящая функция для них также следующая: ∑ n = 0 ∞ t n L n ( x ) = 1 1 − t e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.} L n ( x ) = 1 n ! e x d n d x n ( x n e − x ) {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}
Полиномы с отрицательным индексом можно выразить через полиномы с положительным индексом: L − n ( x ) = e x L n − 1 ( − x ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}
Для произвольного действительного α полиномиальные решения дифференциального уравнения [2] x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0} обобщенными полиномами Лагерра или ассоциированными полиномами Лагерра .
Обобщенные полиномы Лагерра можно также определить рекурсивно, определив первые два полинома как L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = 1 + α − x {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}
а затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k ≥ 1 L k + 1 ( α ) ( x ) = ( 2 k + 1 + α − x ) L k ( α ) ( x ) − ( k + α ) L k − 1 ( α ) ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}
Простые полиномы Лагерра являются частным случаем α = 0 L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}
Формула Родригеса для них имеет вид L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) = x − α n ! ( d d x − 1 ) n x n + α . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}
Производящая функция для них равна ∑ n = 0 ∞ t n L n ( α ) ( x ) = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}
Первые несколько обобщенных полиномов Лагерра, L n ( к ) ( х ) Явные примеры и свойства обобщенных полиномов Лагерра [ редактировать ] Функции Лагерра определяются слитными гипергеометрическими функциями и преобразованием Куммера как [3] L n ( α ) ( x ) := ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).} ( n + α n ) {\textstyle {n+\alpha \choose n}} биномиальный коэффициент . Когда n является целым числом, функция сводится к многочлену степени n . Имеет альтернативное выражение [4] L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n n ! U ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)} функции Куммера второго рода . Замкнутая форма этих обобщенных полиномов Лагерра степени n имеет вид [5] L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}} теоремы Лейбница о дифференцировании произведения к формуле Родригеса. Полиномы Лагерра имеют представление дифференциального оператора, во многом похожее на близкородственные полиномы Эрмита. А именно, пусть D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} M = x D 2 + ( α + 1 ) D {\displaystyle M=xD^{2}+(\alpha +1)D} exp ( − t M ) x n = ( − 1 ) n t n n ! L n ( α ) ( x t ) {\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)} [ нужна ссылка Первые несколько обобщенных полиномов Лагерра: н L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 − x + α + 1 {\displaystyle -x+\alpha +1\,} 2 1 2 ( x 2 − 2 ( α + 2 ) x + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-2\left(\alpha +2\right)x+\left(\alpha +1\right)\left(\alpha +2\right))\,} 3 1 6 ( − x 3 + 3 ( α + 3 ) x 2 − 3 ( α + 2 ) ( α + 3 ) x + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+3\left(\alpha +3\right)x^{2}-3\left(\alpha +2\right)\left(\alpha +3\right)x+\left(\alpha +1\right)\left(\alpha +2\right)\left(\alpha +3\right))\,} 4 1 24 ( x 4 − 4 ( α + 4 ) x 3 + 6 ( α + 3 ) ( α + 4 ) x 2 − 4 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 4 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 4 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-4\left(\alpha +4\right)x^{3}+6\left(\alpha +3\right)\left(\alpha +4\right)x^{2}-4\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +4\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +4\right))\,} 5 1 120 ( − x 5 + 5 ( α + 5 ) x 4 − 10 ( α + 4 ) ( α + 5 ) x 3 + 10 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 5 ) x 2 − 5 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 5 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 5 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+5\left(\alpha +5\right)x^{4}-10\left(\alpha +4\right)\left(\alpha +5\right)x^{3}+10\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +5\right)x^{2}-5\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +5\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +5\right))\,} 6 1 720 ( x 6 − 6 ( α + 6 ) x 5 + 15 ( α + 5 ) ( α + 6 ) x 4 − 20 ( α + 4 ) ⋯ ( α + 6 ) x 3 + 15 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 6 ) x 2 − 6 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 6 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 6 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-6\left(\alpha +6\right)x^{5}+15\left(\alpha +5\right)\left(\alpha +6\right)x^{4}-20\left(\alpha +4\right)\cdots \left(\alpha +6\right)x^{3}+15\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +6\right)x^{2}-6\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +6\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +6\right))\,} 7 1 5040 ( − x 7 + 7 ( α + 7 ) x 6 − 21 ( α + 6 ) ( α + 7 ) x 5 + 35 ( α + 5 ) ⋯ ( α + 7 ) x 4 − 35 ( α + 4 ) ⋯ ( α + 7 ) x 3 + 21 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 7 ) x 2 − 7 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 7 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 7 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{5040}}(-x^{7}+7\left(\alpha +7\right)x^{6}-21\left(\alpha +6\right)\left(\alpha +7\right)x^{5}+35\left(\alpha +5\right)\cdots \left(\alpha +7\right)x^{4}-35\left(\alpha +4\right)\cdots \left(\alpha +7\right)x^{3}+21\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +7\right)x^{2}-7\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +7\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +7\right))\,} 8 1 40320 ( x 8 − 8 ( α + 8 ) x 7 + 28 ( α + 7 ) ( α + 8 ) x 6 − 56 ( α + 6 ) ⋯ ( α + 8 ) x 5 + 70 ( α + 5 ) ⋯ ( α + 8 ) x 4 − 56 ( α + 4 ) ⋯ ( α + 8 ) x 3 + 28 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 8 ) x 2 − 8 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 8 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 8 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{40320}}(x^{8}-8\left(\alpha +8\right)x^{7}+28\left(\alpha +7\right)\left(\alpha +8\right)x^{6}-56\left(\alpha +6\right)\cdots \left(\alpha +8\right)x^{5}+70\left(\alpha +5\right)\cdots \left(\alpha +8\right)x^{4}-56\left(\alpha +4\right)\cdots \left(\alpha +8\right)x^{3}+28\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +8\right)x^{2}-8\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +8\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +8\right))\,} 9 1 362880 ( − x 9 + 9 ( α + 9 ) x 8 − 36 ( α + 8 ) ( α + 9 ) x 7 + 84 ( α + 7 ) ⋯ ( α + 9 ) x 6 − 126 ( α + 6 ) ⋯ ( α + 9 ) x 5 + 126 ( α + 5 ) ⋯ ( α + 9 ) x 4 − 84 ( α + 4 ) ⋯ ( α + 9 ) x 3 + 36 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 9 ) x 2 − 9 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 9 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 9 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{362880}}(-x^{9}+9\left(\alpha +9\right)x^{8}-36\left(\alpha +8\right)\left(\alpha +9\right)x^{7}+84\left(\alpha +7\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x^{6}-126\left(\alpha +6\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x^{5}+126\left(\alpha +5\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x^{4}-84\left(\alpha +4\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x^{3}+36\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x^{2}-9\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +9\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +9\right))\,} 10 1 3628800 ( x 10 − 10 ( α + 10 ) x 9 + 45 ( α + 9 ) ( α + 10 ) x 8 − 120 ( α + 8 ) ⋯ ( α + 10 ) x 7 + 210 ( α + 7 ) ⋯ ( α + 10 ) x 6 − 252 ( α + 6 ) ⋯ ( α + 10 ) x 5 + 210 ( α + 5 ) ⋯ ( α + 10 ) x 4 − 120 ( α + 4 ) ⋯ ( α + 10 ) x 3 + 45 ( α + 3 ) ⋯ ( α + 10 ) x 2 − 10 ( α + 2 ) ⋯ ( α + 10 ) x + ( α + 1 ) ⋯ ( α + 10 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{3628800}}(x^{10}-10\left(\alpha +10\right)x^{9}+45\left(\alpha +9\right)\left(\alpha +10\right)x^{8}-120\left(\alpha +8\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{7}+210\left(\alpha +7\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{6}-252\left(\alpha +6\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{5}+210\left(\alpha +5\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{4}-120\left(\alpha +4\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{3}+45\left(\alpha +3\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x^{2}-10\left(\alpha +2\right)\cdots \left(\alpha +10\right)x+\left(\alpha +1\right)\cdots \left(\alpha +10\right))\,}
Коэффициент при главном члене равен (−1) н н ! ; Постоянный член , который является значением в 0, равен L n ( α ) ( 0 ) = ( n + α n ) = Γ ( n + α + 1 ) n ! Γ ( α + 1 ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};} Если α L n ( а ) имеет n вещественных , строго положительных корней (обратите внимание, что ( ( − 1 ) n − i L n − i ( α ) ) i = 0 n {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}} цепочка Штурма ), которые все лежат в интервале ( 0 , n + α + ( n − 1 ) n + α ] . {\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].} [ нужна ссылка Асимптотическое поведение полиномов при больших n , но фиксированных α и x > 0 [6] [7] L n ( α ) ( x ) = n α 2 − 1 4 π e x 2 x α 2 + 1 4 sin ( 2 n x − π 2 ( α − 1 2 ) ) + O ( n α 2 − 3 4 ) , L n ( α ) ( − x ) = ( n + 1 ) α 2 − 1 4 2 π e − x / 2 x α 2 + 1 4 e 2 x ( n + 1 ) ⋅ ( 1 + O ( 1 n + 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}} L n ( α ) ( x n ) n α ≈ e x / 2 n ⋅ J α ( 2 x ) x α , {\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},} J α {\displaystyle J_{\alpha }} функция Бесселя . Учитывая указанную выше производящую функцию, полиномы могут быть выражены через контурный интеграл L n ( α ) ( x ) = 1 2 π i ∮ C e − x t / ( 1 − t ) ( 1 − t ) α + 1 t n + 1 d t , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}
Формула сложения полиномов Лагерра: [8] L n ( α + β + 1 ) ( x + y ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L n − i ( β ) ( y ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).}
Полиномы Лагерра удовлетворяют рекуррентным соотношениям L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n L n − i ( α + i ) ( y ) ( y − x ) i i ! , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},} L n ( α + 1 ) ( x ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)} L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n − i − 1 n − i ) L i ( β ) ( x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),} L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n n − i ) L i ( β − i ) ( x ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);} L n ( α ) ( x ) − ∑ j = 0 Δ − 1 ( n + α n − j ) ( − 1 ) j x j j ! = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( α + Δ ) ( x ) = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α − i − 1 n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( n + α + Δ − i ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}
Их можно использовать для вывода четырех правил трех пунктов. L n ( α ) ( x ) = L n ( α + 1 ) ( x ) − L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) = ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) j L n − j ( α + k ) ( x ) , n L n ( α ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − x L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) , or x k k ! L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( n + i i ) ( n + α k − i ) L n + i ( α − k ) ( x ) , n L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n − x ) L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) + ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) x L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( n − x ) L n ( α ) ( x ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}
в совокупности они дают дополнительные полезные рекуррентные соотношения. L n ( α ) ( x ) = ( 2 + α − 1 − x n ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( 1 + α − 1 n ) L n − 2 ( α ) ( x ) = α + 1 − x n L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) − x n L n − 2 ( α + 2 ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}
С L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} n {\displaystyle n} α {\displaystyle \alpha } разложение на частичные дроби n ! L n ( α ) ( x ) ( α + 1 ) n = 1 − ∑ j = 1 n ( − 1 ) j j α + j ( n j ) L n ( − j ) ( x ) = 1 − ∑ j = 1 n x j α + j L n − j ( j ) ( x ) ( j − 1 ) ! = 1 − x ∑ i = 1 n L n − i ( − α ) ( x ) L i − 1 ( α + 1 ) ( − x ) α + i . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}} i и n и непосредственно вытекающего из выражения L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} полиномов Шарлье : ( − x ) i i ! L n ( i − n ) ( x ) = ( − x ) n n ! L i ( n − i ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}
Дифференцирование представления степенного ряда обобщенного многочлена Лагерра k раз приводит к d k d x k L n ( α ) ( x ) = { ( − 1 ) k L n − k ( α + k ) ( x ) if k ≤ n , 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
Это указывает на частный случай ( α = 0 α = k L n ( k ) ( x ) = ( − 1 ) k d k L n + k ( x ) d x k , {\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},} k иногда вызывает путаницу с обычным обозначением производной в скобках.
Более того, имеет место следующее уравнение: 1 k ! d k d x k x α L n ( α ) ( x ) = ( n + α k ) x α − k L n ( α − k ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),} формулой Коши до L n ( α ′ ) ( x ) = ( α ′ − α ) ( α ′ + n α ′ − α ) ∫ 0 x t α ( x − t ) α ′ − α − 1 x α ′ L n ( α ) ( t ) d t . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}
Производная по второй переменной α имеет вид: [9] d d α L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 L i ( α ) ( x ) n − i . {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}
Обобщенные полиномы Лагерра подчиняются дифференциальному уравнению x L n ( α ) ′ ′ ( x ) + ( α + 1 − x ) L n ( α ) ′ ( x ) + n L n ( α ) ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,} k -я производная обычного полинома Лагерра:
x L n [ k ] ′ ′ ( x ) + ( k + 1 − x ) L n [ k ] ′ ( x ) + ( n − k ) L n [ k ] ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,} L n [ k ] ( x ) ≡ d k L n ( x ) d x k {\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}
В форме Штурма – Лиувилля дифференциальное уравнение имеет вид
− ( x α + 1 e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) ′ ) ′ = n ⋅ x α e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) , {\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}
что показывает, что L (а) n n .
Обобщенные полиномы Лагерра ортогональны над [0, ∞) относительно меры с весовой функцией x а и − х [10]
∫ 0 ∞ x α e − x L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}
что следует из
∫ 0 ∞ x α ′ − 1 e − x L n ( α ) ( x ) d x = ( α − α ′ + n n ) Γ ( α ′ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}
Если Γ ( x , α + 1 , 1 ) {\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}
∫ 0 ∞ L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) Γ ( x , α + 1 , 1 ) d x = ( n + α n ) δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}
Соответствующий полином с симметричным ядром имеет представления ( формула Кристоффеля – Дарбу ) [ нужна ссылка
K n ( α ) ( x , y ) := 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L i ( α ) ( y ) ( α + i i ) = 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( y ) − L n + 1 ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) x − y n + 1 ( n + α n ) = 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n x i i ! L n − i ( α + i ) ( x ) L n − i ( α + i + 1 ) ( y ) ( α + n n ) ( n i ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}
рекурсивно
K n ( α ) ( x , y ) = y α + 1 K n − 1 ( α + 1 ) ( x , y ) + 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α + 1 ) ( x ) L n ( α ) ( y ) ( α + n n ) . {\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}
Более того, [ нужны разъяснения.
y α e − y K n ( α ) ( ⋅ , y ) → δ ( y − ⋅ ) . {\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}
неравенства Турана Здесь можно вывести , которые L n ( α ) ( x ) 2 − L n − 1 ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( x ) = ∑ k = 0 n − 1 ( α + n − 1 n − k ) n ( n k ) L k ( α − 1 ) ( x ) 2 > 0. {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}
Следующий интеграл необходим при квантовомеханическом рассмотрении атома водорода :
∫ 0 ∞ x α + 1 e − x [ L n ( α ) ( x ) ] 2 d x = ( n + α ) ! n ! ( 2 n + α + 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}
Пусть функция имеет (формальное) разложение в ряд f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f i ( α ) L i ( α ) ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}
Затем f i ( α ) = ∫ 0 ∞ L i ( α ) ( x ) ( i + α i ) ⋅ x α e − x Γ ( α + 1 ) ⋅ f ( x ) d x . {\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}
Ряд сходится в ассоциированном гильбертовом пространстве L 2 [0, ∞) тогда и только тогда, когда
‖ f ‖ L 2 2 := ∫ 0 ∞ x α e − x Γ ( α + 1 ) | f ( x ) | 2 d x = ∑ i = 0 ∞ ( i + α i ) | f i ( α ) | 2 < ∞ . {\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}
Мономы представляются как x n n ! = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) L i ( α ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),} биномы имеют параметризацию ( n + x n ) = ∑ i = 0 n α i i ! L n − i ( x + i ) ( α ) . {\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}
Это приводит непосредственно к e − γ x = ∑ i = 0 ∞ γ i ( 1 + γ ) i + α + 1 L i ( α ) ( x ) convergent iff ℜ ( γ ) > − 1 2 {\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}} гамма-функция имеет представление Γ ( α , x ) = x α e − x ∑ i = 0 ∞ L i ( α ) ( x ) 1 + i ( ℜ ( α ) > − 1 , x > 0 ) . {\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}
В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобного атома точно решается путем разделения переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции представляет собой (обобщенный) полином Лагерра. [11]
Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также можно описать с помощью полиномов Лагерра. [12]
Эрдейи дает следующие две теоремы умножения. [13]
t n + 1 + α e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = n ∞ ( k n ) ( 1 − 1 t ) k − n L k ( α ) ( z ) , e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = 0 ∞ ( 1 − t ) k z k k ! L n ( α + k ) ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}
Обобщенные полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита : H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 ) H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n + 1 n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}} H n x ) полиномы Эрмита, основанные на весовой функции exp(− x 2 ) , так называемая «версия физика».
Из-за этого при рассмотрении квантового гармонического осциллятора возникают обобщенные полиномы Лагерра .
Полиномы Лагерра могут быть определены в терминах гипергеометрических функций , в частности, конфлюэнтных гипергеометрических функций , как L n ( α ) ( x ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)} ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} символ Поххаммера (который в данном случае представляет собой возрастающий факториал).
Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют формуле Харди – Хилла [14] [15] ∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; x y t ( 1 − t ) 2 ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),} α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} | t | < 1 {\displaystyle |t|<1} 0 F 1 ( ; α + 1 ; z ) = Γ ( α + 1 ) z − α / 2 I α ( 2 z ) , {\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),} обобщенную гипергеометрическую функцию ), это также можно записать как ∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( 1 + α + n ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( x y t ) α / 2 ( 1 − t ) e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) I α ( 2 x y t 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).} ядра Мелера для полиномов Эрмита , которое можно восстановить из нее, используя приведенные выше соотношения между полиномами Лагерра и полиномами Эрмита.
Обобщенные полиномы Лагерра используются для описания квантовой волновой функции орбиталей атомов водорода . [16] [17] [18] [19]
L n ( α ) ( x ) = Γ ( α + n + 1 ) Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}
где 1 F 1 ( a ; b ; x ) {\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)} вырожденная гипергеометрическая функция .В физической литературе [18]
L ¯ n ( α ) ( x ) = [ Γ ( α + n + 1 ) ] 2 Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}
Физическая версия связана со стандартной версией соотношением
L ¯ n ( α ) ( x ) = ( n + α ) ! L n ( α ) ( x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}
В физической литературе существует еще одно, хотя и менее часто используемое, соглашение. [20] [21] [22]
L ~ n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) α L ¯ n − α ( α ) . {\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}
Обобщенные полиномы Лагерра связаны с умбральным исчислением, поскольку представляют собой последовательности Шеффера для D / ( D − I ) {\displaystyle D/(D-I)} n ! {\displaystyle n!} [23] L n ( x ) = n ! L n ( − 1 ) ( x ) = ∑ k = 0 n L ( n , k ) ( − x ) k {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x)=n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}} L ( n , k ) = ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! {\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}} числа Лаха . ( L n ( x ) ) n ∈ N {\textstyle ({\mathcal {L}}_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }} биномиального типа , т.е. они удовлетворяют L n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) L k ( x ) L n − k ( y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathcal {L}}_{k}(x){\mathcal {L}}_{n-k}(y)}
^ Н. Сонин (1880). «Исследование цилиндрических функций и последовательное развитие непрерывных функций» . Математика. Энн. 16 (1): 1–80. дои : 10.1007/BF01459227 . S2CID 121602983 . ^ A&S стр. 781 ^ A&S стр. 509 ^ A&S стр. 510 ^ A&S стр. 775 ^ Сегё, с. 198. ^ Д. Борвейн, Дж. М. Борвейн, Р. Э. Крэндалл, «Эффективная асимптотика Лагерра», SIAM J. Numer. Анальный. , том. 46 (2008), вып. 6, стр. 3285–3312. дои : 10.1137/07068031X ^ Уравнение A&S (22.12.6), с. 785 ^ Кепф, Вольфрам (1997). «Тождества для семейств ортогональных полиномов и специальных функций». Интегральные преобразования и специальные функции . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 дои : 10.1080/10652469708819127 . ^ «Связанный полином Лагерра» . ^ Ратнер, Шац, Марк А., Джордж К. (2001). Квантовая механика в химии . 0-13-895491-7: Прентис Холл. стр. 90–91. {{cite book }}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) ^ Йонг, Матийс де; Сейхо, Луис; Мейеринк, Андрис; Рабоу, Фредди Т. (24 июня 2015 г.). «Разрешение двусмысленности в связи между сдвигом Стокса и параметром Хуанга – Риса» . Физическая химия Химическая физика . 17 (26): 16959–16969. Бибкод : 2015PCCP...1716959D . дои : 10.1039/C5CP02093J . hdl : 1874/321453 ISSN 1463-9084 . ПМИД 26062123 . S2CID 34490576 . ^ К. Трусделл, « О теоремах сложения и умножения для специальных функций », Труды Национальной академии наук, Математика , (1950), стр. 752–757. ^ Сегё, с. 102. ^ WA Al-Salam (1964), «Операционные представления для Лагерра и других полиномов» , Duke Math J. 31 (1): 127–142. ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. ISBN 0131118927 ^ Сакураи, Джей-Джей (2011). Современная квантовая механика (2-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0805382914 ^ Перейти обратно: а б Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0471887021 ^ Абрамовиц, Милтон (1965). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 ^ Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0070856435 ^ Мессия, Альберт (2014). Квантовая механика . Дуврские публикации. ISBN 9780486784557 ^ Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471198260 ^ Рота, Джан-Карло; Каханер, Д; Одлизко, А (1 июня 1973 г.). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление» . Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–760. дои : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 ISSN 0022-247X . Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами ИСБН 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 . Г. Сегё, Ортогональные полиномы , 4-е издание, Амер. Математика. Соц. Коллок. Опубл. , том. 23, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1975. Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 Б. Спейн, М.Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена полиномам Лагерра. «Полиномы Лагерра» , Математическая энциклопедия EMS Press , 2001 [1994] Эрик В. Вайсстайн , « Полином Лагерра », Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram. Джордж Арфкен и Ханс Вебер (2000). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-059825-0
скрывать Международный Национальный Другой
![{\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268387cf6ed314caa46b2a11e87acbaf9695875d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1} 4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2} }\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n }^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2 {\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}} }}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\ вправо),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65232999dd61f4298266965f24f79d6d0923b05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha)}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose nj}(-1 )^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)! }}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i}^ {(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\ sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(ni){n \choose i}}}L_{i} ^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449381aff6f2b593def172ab03c17cb1bb57dfb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha)}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{ (\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{nj}^{(\alpha +k)} (x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n -1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n} ^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose ki}L_{ n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(nx)L_{n-1}^ {(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1) }(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(nx)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff755ad59b503998c9e8898cb25b5ff1545520d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{ n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}( x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{ n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc32e1d35979f9126c29a1b4fe1d3ae723d4641d)
![{\ displaystyle xL_ {n} ^ {[k] \ prime \ prime } (x) + (k + 1-x) L_ {n} ^ {[k] \ prime } (x) + (nk) L_ {n }^{[k]}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d6805dbdf16f74423e00fc23ca5ea675eabd49)
![{\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94adaf2e2b6fca61a722420bcb1a66576e10593a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha)}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i =0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}} \\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{ (\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {xy}{n+ 1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{ \frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{ni}^{(\alpha +i)}(x)L_{ni}^{(\alpha +i+1)}( y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc06de0ef9a87d70e951a09cacec0b7da13396)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha)}(x)\right]^{ 2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb8646b87b220d879aec2c64ff9e7e15228b32a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_ {n}^{(\alpha)}(zt)=\sum _{k= n}^{\infty }{k \choose n}\left(1- {\frac {1}{t}}\right)^{kn}L_{k}^{(\alpha )}(z), \\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1- t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419e3fd18bf2b0ef484d747b9670be1f38888684)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{ 2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x ^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015273f34e288fc1847a90dd793e433e9dbb23d0)
![{\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha)}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}} {\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfdcde9315fd8f61b7556fb8b93652a9ba59f2)
