Силовая серия

Не путать с IBM ThinkPad Power Series , The Power (сериал) , Powers (американский сериал) , Powers (британский сериал) или Power (сериал) .

В математике степенной ряд (от одной переменной ) — это бесконечный ряд вида

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots$$

где n _c представляет собой коэффициент n - го члена, а является константой. Степенные ряды полезны в математическом анализе , где они возникают как ряды Тейлора функций бесконечно дифференцируемых . Фактически, из теоремы Бореля следует, что каждый степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции.

Во многих ситуациях c ( центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простой вид

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$$

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формальных степенных рядов ) и в электронной технике (под названием Z-преобразование ). Знакомое десятичное обозначение действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целыми аргументом x . коэффициентами, но с фиксированным 1 ⁄ 10 . В теории чисел понятие p -адических чисел также тесно связано с понятием степенного ряда.

Примеры

Полином

Показательная функция (синим цветом) и ее улучшающее приближение суммой первых n + 1 членов ее степенного ряда Маклорена (красным цветом). Так
n=0 дает $f(x)=1$,
п=1 $f(x)=1+x$,
п=2 $f(x)=1+x+x^{2}/2$,
п=3 $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ и так далее.

Полином степени d , где все можно выразить как степенной ряд вокруг любого центра c члены степени выше d имеют нулевой коэффициент. Например, полином ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ можно записать в виде степенного ряда вокруг центра ${\textstyle c=0}$ как

$$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$$

или вокруг центра ${\textstyle c=1}$ как

$$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$$

Это происходит из-за в ряд Тейлора вокруг разложения f(x) ${\textstyle x=1}$ является

$$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$$

как ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ а ненулевые производные равны ${\textstyle f'(x)=2x+2}$, так ${\textstyle f'(1)=4}$ и ${\textstyle f''(x)=2}$, константа.

Или действительно, расширение возможно вокруг любого другого центра c . Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются полиномами.

Геометрический ряд, показательная

геометрической прогрессии Формула

$${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$$

который действителен для ${\textstyle |x|<1}$, является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула показательной функции

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$$

и формула синуса

$$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$$

справедливо для всех действительных x .

Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .

О множестве показателей

Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, ${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Аналогично, дробные степени, такие как ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$не разрешены (но см. серию Пюизо ). Коэффициенты ${\textstyle a_{n}}$ не позволено зависеть от ${\textstyle x}$, например:

$$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots$$

не является степенным рядом.

Радиус схождения

Силовой ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ сходится для некоторых значений переменной x , которая всегда будет включать x = c (как обычно, $(x-c)^{0}$ оценивается как 1 , и таким образом сумма ряда равна $a_{0}$для x = c ). Ряд может расходиться при других значениях x . Если c не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х – с | < r и расходится всякий раз, когда | х – с | > р . Число г называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем это дается как

$$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$$

или, что то же самое,

$$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$$

(это теорема Коши-Адамара ; Предел верхний» и «нижний предел» объяснение обозначений см. в разделе « ). Отношение

$$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$$

также выполняется, если этот предел существует.

Набор комплексных чисел таких, что | х – с | < r называется кругом сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве круга сходимости.

Для | х – с | = r , общего утверждения о сходимости ряда не существует. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z такого, что | г – с | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z – c ) , где t — действительная переменная меньше 1 , стремящаяся к 1 .

Действия над степенным рядом

Сложение и вычитание

Когда две функции f и g разлагаются в степенные ряды вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций можно получить путем почленного сложения и вычитания. То есть, если

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$$

и

$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$$

затем

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$$

Неверно, что если два степенных ряда ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ и ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ имеют одинаковый радиус сходимости, то ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$также имеет этот радиус сходимости. Если ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ и ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$, то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ имеет радиус сходимости 3.

Сумма двух степенных рядов будет иметь, как минимум, радиус сходимости меньшего из двух радиусов сходимости двух рядов (и он может быть больше, чем любой из них, как показано в примере выше).

Умножение и деление

С теми же определениями $f(x)$ и $g(x)$, степенной ряд произведения и частное функций можно получить следующим образом:

$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}$$

Последовательность ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ известен как свертка последовательностей $a_{n}$ и $b_{n}$.

Для деления, если определить последовательность $d_{n}$ к

$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$$

затем

$$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$$

и можно рекурсивно решить условия $d_{n}$ путем сравнения коэффициентов.

Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов $f(x)$ и $g(x)$

$$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$$

$$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$$

Дифференциация и интеграция

Однажды функция $f(x)$задается в виде степенного ряда, как указано выше, он области сходимости дифференцируем внутри . Его можно довольно легко дифференцировать и интегрировать , рассматривая каждый термин отдельно:

$${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$$

Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.

Аналитические функции

Основная статья: Аналитическая функция

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C, называется аналитической , если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает, что каждый a ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такую ​​что существует степенной ряд с центром a который сходится к f ( x ) для каждого x ∈ V. ,

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитические. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, вообще говоря, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n можно вычислить как

$$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$$

где $f^{(n)}(c)$ обозначает n-ю производную f в точке c , а $f^{(0)}(c)=f(c)$. Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора .

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g — две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ^{( н )} ( с ) знак равно г ^{( н )} ( c ) для всех n ≥ 0 , тогда ж ( Икс ) знак равно г ( Икс ) для всех Икс ∈ U .

Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения этого ряда, т.е. аналитические функции f , которые определены на множествах, больших, чем { x | | Икс - с | < r } и согласуем с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r максимально в следующем смысле: всегда существует комплексное число x такое, что | Икс - с | = r не может быть определено аналитическое продолжение ряда такой, что в точке x .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы обращения Лагранжа .

Поведение вблизи границы

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого диска может наблюдаться различное поведение. Например:

1. Дивергенция при продолжении суммы до аналитической функции : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ имеет радиус сходимости, равный $1$ и расходится в каждой точке $|z|=1$. Тем не менее, сумма в $|z|<1$ является ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$, который аналитичен в каждой точке плоскости, кроме $z=1$.
2. Сходящиеся в одних точках и расходящиеся в других : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ имеет радиус сходимости $1$. Он сходится для $z=-1$, в то время как он расходится для $z=1$.
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы : ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ имеет радиус сходимости $1$, хотя он сходится абсолютно и равномерно в каждой точке $|z|=1$ из-за М-критерия Вейерштрасса , примененного к гипергармоническому сходящемуся ряду ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$.
4. Сходящаяся при замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример степенного ряда с радиусом сходимости $1$, сходящийся во всех точках с $|z|=1$, но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля .

степенной

Основная статья: Формальный степенной ряд

В абстрактной алгебре пытаются уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к понятию формальных степенных рядов , понятию, имеющему большую полезность в алгебраической комбинаторике .

Степенной ряд от нескольких переменных

Расширение теории необходимо для целей исчисления многих переменных . определяется Здесь степенной ряд как бесконечный ряд вида

$$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$$

где j = ( j ₁ , …, j _n ) — вектор натуральных чисел, коэффициенты a _{( j 1 , …, j n )} обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = ( c ₁ , …, c _n ) и аргумент x = ( x ₁ , …, x _n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ $\Pi$— символ произведения , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной записи это можно записать

$$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$$

где $\mathbb {N}$ – это набор натуральных чисел , и поэтому $\mathbb {N} ^{n}$ представляет собой набор упорядоченных n - наборов натуральных чисел.

Теория таких рядов сложнее, чем для рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ абсолютно сходится во множестве $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$между двумя гиперболами. (Это пример лог-выпуклого множества в том смысле, что множество точек $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$, где $(x_{1},x_{2})$лежит в указанной области, представляет собой выпуклое множество. В более общем смысле можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда представляет собой логарифмически выпуклое множество в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком серии, как и в случае с обычным степенным рядом.

Порядок степенного ряда

Пусть α — мультииндекс степенного ряда f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) . Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение $r$ что существует α _{такой ,} ≠ 0 с $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, или $\infty$если f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f - это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана .

Ссылки

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Степеньевой ряд» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ряд формальных степеней» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Силовая серия» . Математический мир .
• Степени комплексных чисел Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Wolfram .