Jump to content

Гипергеометрическая серия Лауриселлы

В 1893 году Лауриселла определил и изучил четыре серии F A , F B , FC Джузеппе , FD гипергеометрические трех переменных. Это ( Лауриселла 1893 ):

для | х 1 | + | х 2 | + | х 3 | < 1 и

для | х 1 | < 1, | х 2 | < 1, | х 3 | < 1 и

для | х 1 | ½ + | х 2 | ½ + | х 3 | ½ < 1 и

для | х 1 | < 1, | х 2 | < 1, | х 3 | < 1. Здесь символ Похгаммера ( q ) i обозначает i -й возрастающий факториал q , т.е.

где второе равенство верно для всех комплексных кроме .

значения переменных x1 распространить на другие , x2 Эти функции можно , x3 продолжения посредством аналитического .

Лауриселла также указала на существование десяти других гипергеометрических функций трех переменных. были названы FE Они , FF и , ..., FT Саран изучены Шанти Саран в 1954 году ( 1954 ). Таким образом, всего существует 14 гипергеометрических функций Лауричелы–Сарана.

Обобщение до n переменных [ править ]

Эти функции можно напрямую распространить на n переменных. Один пишет например

где | х 1 | + ... + | х п | < 1. Эти обобщенные ряды также иногда называют функциями Лауричеллы.

При n = 2 функции Лауричелы соответствуют гипергеометрическому ряду Аппелла двух переменных:

Когда n = 1, все четыре функции сводятся к гипергеометрической функции Гаусса :

Интегральное представление F D [ править ]

По аналогии с функцией Аппелла F 1 Лауричеллы , F D можно записать в виде одномерного Эйлера типа интеграла для любого числа n переменных:

Это представление легко проверить с помощью разложения Тейлора подынтегральной функции с последующим почленным интегрированием. Из представления следует, что неполный эллиптический интеграл Π является частным случаем функции Лауричеллы F D с тремя переменными:

конечной суммой Решения FD с [ править ]

Случай 1: , положительное целое число

Можно связать F D с R- функцией Карлсона с помощью

с итерационной суммой

и

где можно использовать то, что функция Карлсона R с имеет точное представление (см. [1] для получения дополнительной информации).

Векторы определяются как

где длина и является , а векторы и иметь длину .

Случай 2: , положительное целое число

В этом случае также известна аналитическая форма, но она достаточно сложна для записи и включает несколько шагов.Видеть [2] для получения дополнительной информации.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Глюзенкамп, Т. (2018). «Вероятностная обработка неопределенности конечного размера взвешенных данных Монте-Карло». ЭПЖ Плюс . 133 (6): 218. arXiv : 1712.01293 . Бибкод : 2018EPJP..133..218G . дои : 10.1140/epjp/i2018-12042-x . S2CID   125665629 .
  2. ^ Тан, Дж.; Чжоу, П. (2005). «О представлениях функций Лауричеллы FD в конечной сумме». Достижения в области вычислительной математики . 23 (4): 333–351. дои : 10.1007/s10444-004-1838-0 . S2CID   7515235 .



Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a13e5f6e7e30f6ae65d41082ab4c998e__1640993100
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a1/8e/a13e5f6e7e30f6ae65d41082ab4c998e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Lauricella hypergeometric series - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)