Гипергеометрическая серия Лауриселлы

В 1893 году Лауриселла определил и изучил четыре серии F _A , F _B , FC _{Джузеппе} , FD _{гипергеометрические} трех переменных. Это ( Лауриселла 1893 ):

$F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$

для | х ₁ | + | х ₂ | + | х ₃ | < 1 и

$F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$

для | х ₁ | < 1, | х ₂ | < 1, | х ₃ | < 1 и

$F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$

для | х ₁ | ^½ + | х ₂ | ^½ + | х ₃ | ^½ < 1 и

$F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$

для | х ₁ | < 1, | х ₂ | < 1, | х ₃ | < 1. Здесь символ Похгаммера ( q ) _i обозначает i -й возрастающий факториал q , т.е.

$(q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,$

где второе равенство верно для всех комплексных $q$ кроме $q=0,-1,-2,\ldots$.

значения переменных x1 _{распространить на другие} , x2 _{Эти функции можно} , x3 _{продолжения} посредством аналитического .

Лауриселла также указала на существование десяти других гипергеометрических функций трех переменных. были названы FE _Они , FF _и , ..., FT _Саран изучены Шанти Саран в 1954 году ( 1954 ). Таким образом, всего существует 14 гипергеометрических функций Лауричелы–Сарана.

Обобщение до n переменных

Эти функции можно напрямую распространить на n переменных. Один пишет например

$F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}~,$

где | х ₁ | + ... + | х _п | < 1. Эти обобщенные ряды также иногда называют функциями Лауричеллы.

При n = 2 функции Лауричелы соответствуют гипергеометрическому ряду Аппелла двух переменных:

$F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.$

Когда n = 1, все четыре функции сводятся к гипергеометрической функции Гаусса :

$F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).$

Интегральное представление F _D

По аналогии с функцией Аппелла F ₁ Лауричеллы , F _D можно записать в виде одномерного Эйлера типа интеграла для любого числа n переменных:

$F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.$

Это представление легко проверить с помощью разложения Тейлора подынтегральной функции с последующим почленным интегрированием. Из представления следует, что неполный эллиптический интеграл Π является частным случаем функции Лауричеллы F _D с тремя переменными:

$\Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatorname {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.$

конечной суммой Решения FD _с

Случай 1: $a>c$, $a-c$ положительное целое число

Можно связать F _D с R- функцией Карлсона $R_{n}$ с помощью

$F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}$

с итерационной суммой

$D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}$ и $D_{0}=1$

где можно использовать то, что функция Карлсона R с $n>0$ имеет точное представление (см. для получения дополнительной информации).

Векторы определяются как

${\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]$

${\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]$

где длина ${\overline {z}}$ и ${\overline {b}}$ является $N-1$, а векторы ${\overline {z^{*}}}$ и ${\overline {b^{*}}}$ иметь длину $N$.

Случай 2: $c>a$, $c-a$ положительное целое число

В этом случае также известна аналитическая форма, но она достаточно сложна для записи и включает несколько шагов.Видеть для получения дополнительной информации.

Ссылки

• Аппелл, Пол ; Кампе де Ферье, Жозеф (1926). Гипергеометрические и гиперсферические функции; Полиномы Эрмита (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ЖФМ   52.0361.13 . (см. стр. 114)
• Экстон, Гарольд (1976). Множество гипергеометрических функций и приложений . Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-15190-0 . МР   0422713 .
• Лауриселла, Джузеппе (1893). «О гипергеометрических функциях многих переменных». Отчеты Математического цирка Палермо (на итальянском языке). 7 (С1): 111–158. дои : 10.1007/BF03012437 . ЖФМ   25.0756.01 . S2CID   122316343 .
• Саран, Шанти (1954). «Гипергеометрические функции трех переменных». Ганита . 5 (1): 77–91. ISSN   0046-5402 . МР   0087777 . Збл   0058.29602 . (исправление 1956 г. в Ganita 7 , стр. 65)
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-06483-Х . МР   0201688 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )
• Шривастава, Хари М.; Карлссон, Пер В. (1985). Кратный гауссов гипергеометрический ряд . Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN  0-470-20100-2 . МР   0834385 . (есть еще одно издание с ISBN   0-85312-602-X )

• Рональд М. Аартс. «Функции Лауричеллы» . Математический мир .