Гипергеометрическая серия Лауриселлы
В 1893 году Лауриселла определил и изучил четыре серии F A , F B , FC Джузеппе , FD гипергеометрические трех переменных. Это ( Лауриселла 1893 ):
для | х 1 | + | х 2 | + | х 3 | < 1 и
для | х 1 | < 1, | х 2 | < 1, | х 3 | < 1 и
для | х 1 | ½ + | х 2 | ½ + | х 3 | ½ < 1 и
для | х 1 | < 1, | х 2 | < 1, | х 3 | < 1. Здесь символ Похгаммера ( q ) i обозначает i -й возрастающий факториал q , т.е.
где второе равенство верно для всех комплексных кроме .
значения переменных x1 распространить на другие , x2 Эти функции можно , x3 продолжения посредством аналитического .
Лауриселла также указала на существование десяти других гипергеометрических функций трех переменных. были названы FE Они , FF и , ..., FT Саран изучены Шанти Саран в 1954 году ( 1954 ). Таким образом, всего существует 14 гипергеометрических функций Лауричелы–Сарана.
Обобщение до n переменных [ править ]
Эти функции можно напрямую распространить на n переменных. Один пишет например
где | х 1 | + ... + | х п | < 1. Эти обобщенные ряды также иногда называют функциями Лауричеллы.
При n = 2 функции Лауричелы соответствуют гипергеометрическому ряду Аппелла двух переменных:
Когда n = 1, все четыре функции сводятся к гипергеометрической функции Гаусса :
Интегральное представление F D [ править ]
По аналогии с функцией Аппелла F 1 Лауричеллы , F D можно записать в виде одномерного Эйлера типа интеграла для любого числа n переменных:
Это представление легко проверить с помощью разложения Тейлора подынтегральной функции с последующим почленным интегрированием. Из представления следует, что неполный эллиптический интеграл Π является частным случаем функции Лауричеллы F D с тремя переменными:
конечной суммой Решения FD с [ править ]
Случай 1: , положительное целое число
Можно связать F D с R- функцией Карлсона с помощью
с итерационной суммой
и
где можно использовать то, что функция Карлсона R с имеет точное представление (см. [1] для получения дополнительной информации).
Векторы определяются как
где длина и является , а векторы и иметь длину .
Случай 2: , положительное целое число
В этом случае также известна аналитическая форма, но она достаточно сложна для записи и включает несколько шагов.Видеть [2] для получения дополнительной информации.
Ссылки [ править ]
- ^ Глюзенкамп, Т. (2018). «Вероятностная обработка неопределенности конечного размера взвешенных данных Монте-Карло». ЭПЖ Плюс . 133 (6): 218. arXiv : 1712.01293 . Бибкод : 2018EPJP..133..218G . дои : 10.1140/epjp/i2018-12042-x . S2CID 125665629 .
- ^ Тан, Дж.; Чжоу, П. (2005). «О представлениях функций Лауричеллы FD в конечной сумме». Достижения в области вычислительной математики . 23 (4): 333–351. дои : 10.1007/s10444-004-1838-0 . S2CID 7515235 .
- Аппелл, Пол ; Кампе де Ферье, Жозеф (1926). Гипергеометрические и гиперсферические функции; Полиномы Эрмита (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ЖФМ 52.0361.13 . (см. стр. 114)
- Экстон, Гарольд (1976). Множество гипергеометрических функций и приложений . Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-15190-0 . МР 0422713 .
- Лауриселла, Джузеппе (1893). «О гипергеометрических функциях многих переменных». Отчеты Математического цирка Палермо (на итальянском языке). 7 (С1): 111–158. дои : 10.1007/BF03012437 . ЖФМ 25.0756.01 . S2CID 122316343 .
- Саран, Шанти (1954). «Гипергеометрические функции трех переменных». Ганита . 5 (1): 77–91. ISSN 0046-5402 . МР 0087777 . Збл 0058.29602 . (исправление 1956 г. в Ganita 7 , стр. 65)
- Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-Х . МР 0201688 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 )
- Шривастава, Хари М.; Карлссон, Пер В. (1985). Кратный гауссов гипергеометрический ряд . Математика и ее приложения. Чичестер, Великобритания: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd. ISBN 0-470-20100-2 . МР 0834385 . (есть еще одно издание с ISBN 0-85312-602-X )
- Рональд М. Аартс. «Функции Лауричеллы» . Математический мир .