Шестиугольное число

– Шестиугольное число это фигурное число . - е n шестиугольное число h _n — это количество различных точек в наборе точек, состоящем из контуров правильных шестиугольников со сторонами до n точек, когда шестиугольники наложены друг на друга так, что они имеют общую вершину .

Формула n- го шестиугольного числа

h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.

Первые несколько шестиугольных чисел (последовательность A000384 в OEIS ):

1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231 , 276, 325, 378, 435, 496 , 561 , 630, 703, 780, 861, 946...

Каждое шестиугольное число является треугольным числом , но только каждое второе треугольное число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е и т. д.) является шестиугольным числом. Как и в треугольном числе, цифровой корень по основанию 10 шестиугольного числа может быть только 1, 3, 6 или 9. Шаблон цифрового корня, повторяющийся каждые девять членов, выглядит так: «1 6 6 1 9 3 1 3 9».

Каждое четное совершенное число является шестиугольным и определяется формулой

M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}

где Mp _— простое число Мерсенна . Нечетные совершенные числа неизвестны, следовательно, все известные совершенные числа шестиугольны.

Например, 2-е шестиугольное число — 2×3 = 6; 4-й — 4×7 = 28; 16-й — 16×31 = 496; а 64-й — 64×127 = 8128.

Самое большое число, которое нельзя записать в виде суммы не более четырех шестиугольных чисел, — 130 . Адриен-Мари Лежандр в 1830 году доказал, что таким образом можно выразить любое целое число больше 1791.

Кроме того, только два целых числа нельзя выразить с помощью пяти шестиугольных чисел (но можно с помощью шести), а именно 11 и 26.

Шестиугольные числа не следует путать с центрированными шестиугольными числами , которые моделируют стандартную упаковку венских колбас . Чтобы избежать двусмысленности, шестиугольные числа иногда называют «шестиугольными числами, расположенными в углах».

Тест на шестиугольные числа [ править ]

Можно эффективно проверить, является ли положительное целое число x шестиугольным числом, вычислив

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.

Если n — целое число, то x — n -е шестиугольное число. Если n не целое число, то x не шестиугольный.

Отношения конгруэнтности [ править ]

$h_{n}\equiv n{\pmod {4}}$
$h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}$

Другая недвижимость [ править ]

Выражение с использованием сигма-нотации [ править ]

-ное число n гексагональной последовательности также можно выразить с помощью сигма-нотации как

h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}

где пустая сумма принимается равной 0.

Сумма обратных шестиугольных чисел [ править ]

Сумма обратных шестиугольных чисел равна $2ln(2)$ , где $ln$ обозначает натуральный логарифм .

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}

Умножение индекса [ править ]

С помощью перестановки дается следующий набор формул:

$h_{2n}=4h_{n}+2n$

$h_{3n}=9h_{n}+6n$

$...$

$h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n$

Отношение отношения [ править ]

Используя приведенную выше окончательную формулу относительно m , а затем n , а затем некоторые сокращения и перемещения, можно прийти к следующему уравнению:

${\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}$

Числа делителей степеней некоторых натуральных чисел [ править ]

$12^{n-1}$ для n >0 имеет $h_{n}$ делители.

Аналогично для любого натурального числа вида $r=p^{2}q$ где p и q - различные простые числа, $r^{n-1}$ для n >0 имеет $h_{n}$ делители.

Доказательство. $r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}$ имеет делители вида $p^{k}q^{l}$ , для k = 0 ... 2( n - 1), l = 0 ... n - 1. Каждая комбинация k и l дает отдельный делитель, поэтому $r^{n-1}$ имеет $[2(n-1)+1][(n-1)+1]$ делители, т.е. $(2n-1)n=h_{n}$ делители. ∎