Центрированное треугольное число

Центрированное . (или центрированное ) треугольное число — это центрированное фигурное число , которое представляет собой равносторонний треугольник с точкой в ​​центре и всеми остальными точками, окружающими центр, в последовательных равносторонних треугольных слоях

Это также количество точек гексагональной решетки со связью ближайших соседей, расстояние которых от данной точкименьше или равно $n$.

На следующем изображении показано построение центрированных треугольных чисел с использованием связанных фигур: на каждом этапе предыдущий треугольник (показан красным) окружен треугольным слоем новых точек (синим).

Первые восемь центрированных треугольных чисел в шестигранной сетке.

Свойства

• Гномон + 1 -го n центрированного треугольного числа, соответствующего ( n )-му треугольному слою, равен:

$C_{3,n+1}-C_{3,n}=3(n+1).$

• n - е центрированное треугольное число, соответствующее n слоям плюс центр, определяется по формуле:

$C_{3,n}=1+3{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.$

• Каждое центрированное треугольное число имеет остаток, равный 1 при делении на 3, а частное (если оно положительное) является предыдущим правильным треугольным числом.

• Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, представляет собой сумму трех последовательных правильных треугольных чисел .

• Для n > 2 сумма первых n центрированных треугольных чисел является магической константой для на n размером n нормального магического квадрата .

Связь с центрированными квадратными числами

Центрированные треугольные числа можно выразить через центрированные квадратные числа:

$C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}},$

где

$C_{4,n}=n^{2}+(n+1)^{2}.$

Списки центрированных треугольных чисел

Первые центрированные треугольные числа ( C _{3, n} < 3000):

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, , 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, … ence A005448 в OEIS ).

Первые одновременно треугольные и центрированные треугольные числа ( C _{3, n} = T _N < 10 ⁹ ) являются:

1, 10, 136, 1 891, 26 335, 366 796, 5 108 806, 71 156 485, 991 081 981, … (последовательность A128862 в OEIS ).

Производящая функция

Если центрированные треугольные числа рассматривать как коэффициенты ряд Маклорена функции, эта функция сходится для всех $|x|<1$, и в этом случае его можно выразить как мероморфную производящую функцию

$1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+~...={\frac {1-x^{3}}{(1-x)^{4}}}={\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}~.$

Ссылки

• Ланселот Хогбен : Математика для миллиона (1936), переиздано WW Norton & Company (сентябрь 1993 г.), ISBN   978-0-393-31071-9
• Вайсштейн, Эрик В. «Центрированное треугольное число» . Математический мир .