Десятиугольное число

Десятиугольное число — фигурное число, расширяющее понятие треугольных и квадратных чисел до декагона (десятистороннего многоугольника). Однако, в отличие от треугольных и квадратных чисел, шаблоны, используемые при построении десятиугольных чисел, не являются вращательно-симметричными. В частности, n -е десятиугольное число подсчитывает точки в шаблоне из n вложенных десятиугольников, имеющих общий угол, где i -й декагон в шаблоне имеет стороны, состоящие из i точек, расположенных на расстоянии одной единицы друг от друга. n -е десятиугольное число определяется следующей формулой

$d_{n}=4n^{2}-3n$.

Первые несколько десятиугольных чисел:

0 , 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232 , 297 , 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105 , 1242, 1387, 1540, 1701 , 187 0, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000 , 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7 965, 8326 (последовательность A001107 в OEIS ) .

- е n десятиугольное число также можно вычислить, сложив квадрат n к тройному ( n −1)-му проническому числу или, выражаясь алгебраически, как

$D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)$.

Свойства

• Десятиугольные числа последовательно чередуются по четности .
• $D_{n}$ это сумма первых $n$ натуральные числа, равные 1 по модулю 8.
• $D_{n}$ число делителей $48^{n-1}$.
• Единственные десятиугольные числа, которые являются квадратными, — это 0 и 1.
• Десятиугольные числа подчиняются следующим рекуррентным соотношениям:

$D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0$

$D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1$

$D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10$