Идеальный цифровой инвариант

В теории чисел совершенный цифровой инвариант (PDI) — это число в заданной системе счисления ( $b$), то есть сумма собственных цифр, каждая из которых возведена в заданную степень ( $p$).

Определение

Позволять $n$ быть натуральным числом . Идеальная цифровая инвариантная функция (также известная как « счастливая функция » от «счастливых чисел» ) для базовых $b>1$ и власть $p>0$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ определяется как:

$F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{p}.$

где $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ это количество цифр в числе по основанию $b$, и

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число $n$ является совершенным цифровым инвариантом, если это фиксированная точка для $F_{p,b}$, что происходит, если $F_{p,b}(n)=n$. $0$ и $1$ являются тривиальными совершенными цифровыми инвариантами для всех $b$ и $p$все остальные совершенные цифровые инварианты являются нетривиальными совершенными цифровыми инвариантами .

Например, число 4150 в базе $b=10$ является совершенным цифровым инвариантом с $p=5$, потому что $4150=4^{5}+1^{5}+5^{5}+0^{5}$.

Натуральное число $n$ является общительным цифровым инвариантом, если он является периодической точкой для $F_{p,b}$, где $F_{p,b}^{k}(n)=n$ для положительного целого числа $k$ (здесь $F_{p,b}^{k}$ это $k$итерация ​ ​ $F_{p,b}$), и образует цикл периода $k$. Совершенный цифровой инвариант — это общительный цифровой инвариант с $k=1$, а дружественный цифровой инвариант — это общительный цифровой инвариант с $k=2$.

Все натуральные числа $n$ являются предпериодическими точками для $F_{p,b}$, независимо от базы. Это потому, что если $k\geq p+2$, $n\geq b^{k-1}>b^{p}k$, так что любой $n$ удовлетворит $n>F_{b,p}(n)$ до $n<b^{p+1}$. Существует конечное число натуральных чисел, меньших $b^{p+1}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем $b^{p+1}$, что делает ее предпериодической точкой.

Числа в базе $b>p$ приводят к фиксированным или периодическим точкам чисел $n\leq (p-2)^{p}+p(b-1)^{p}$.

Доказательство

Если $b>p$, тогда $n<b^{p+1}$ граница может быть уменьшена. Позволять $r$ — число, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел, меньших $b^{p}$.

$r=b^{p}-1=\sum _{t=0}^{p}(b-1)b^{t}$

$F_{p,b}(r)=(p+1)(b-1)^{p}<(p+1)b^{p}\leq b^{p+1}$ потому что $b\geq (p+1)$

Позволять $s$ — число, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел, меньших $(p+1)(b-1)^{p}$.

$s=(p+1)b^{p}-1=pb^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}$

$F_{p,b}(s)=p^{p}+p(b-1)^{p}<pb^{p}$ потому что $b\geq p$

Позволять $t$ — число, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел, меньших $pb^{p}$.

$t=(p-1)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}$

$F_{p,b}(t)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}$

Позволять $u$ — число, для которого сумма квадратов цифр является наибольшей среди чисел, меньших $F_{p,b}(t)+1$.

$u=(p-2)b^{p}+\sum _{t=0}^{p-1}(b-1)b^{t}$

$F_{p,b}(u)=(p-2)^{p}+p(b-1)^{p}<(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}=n_{\ell +1}$

$u\leq F_{p,b}(u)<F_{p,b}(t)$. Таким образом, числа в базе $b>p$ приводят к циклам или фиксированным точкам чисел $n\leq F_{p,b}(u)=(p-1)^{p}+p(b-1)^{p}$.

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{p,b}^{i}(n)$ достижение фиксированной точки — это постоянство идеальной цифровой функции инвариантной $n$и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

$F_{1,b}$ это сумма цифр . Единственными совершенными цифровыми инвариантами являются однозначные числа по основанию. $b$, и нет периодических точек с простым периодом больше 1.

$F_{p,2}$ сводится к $F_{1,2}$, как и любая мощность $p$, $0^{p}=0$ и $1^{p}=1$.

Для каждого натурального числа $k>1$, если $p<b$, $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$ и $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$, то для любого натурального числа $n$, если $n\equiv m{\bmod {k}}$, затем $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$, где $\phi (k)$ — это полная функция Эйлера .

Доказательство

Позволять

$n=\sum _{i=0}^{j}d_{i}b^{i}$

быть натуральным числом с $j$ цифры, где $0\leq d_{i}<b$, и $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$, где $k$ — натуральное число, большее 1.

По правилам делимости основания $b$, если $b-1\equiv 0{\bmod {k}}$, то если $n\equiv m{\bmod {k}}$, то сумма цифр

$F_{1,b}(n)=\sum _{i=0}^{j}d_{i}\equiv m{\bmod {k}}$

Если цифра $d_{i}\equiv m{\bmod {k}}$, затем $d_{i}^{p}\equiv m^{p}{\bmod {k}}$. По теореме Эйлера , если $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$, $m^{p}{\bmod {k}}=m{\bmod {k}}$. Таким образом, если сумма цифр $F_{1,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$, затем $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$.

Следовательно, для любого натурального числа $k$, если $p<b$, $(b-1)\equiv 0{\bmod {k}}$ и $(p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)$, то для любого натурального числа $n$, если $n\equiv m{\bmod {k}}$, затем $F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}$.

Никакая верхняя граница не может быть определена для размера совершенных цифровых инвариантов в данной базе и произвольной степени, и в настоящее время неизвестно, является ли число совершенных цифровых инвариантов для произвольной базы конечным или бесконечным.

F2 _{, б}

По определению, любой трехзначный совершенный цифровой инвариант $n=d_{2}d_{1}d_{0}$ для $F_{2,b}$ с натуральными цифрами $0\leq d_{0}<b$, $0\leq d_{1}<b$, $0\leq d_{2}<b$ должно удовлетворять кубическому диофантовому уравнению $d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$. $d_{2}$ должно быть равно 0 или 1 для любого $b>2$, поскольку максимальное значение $n$ могу взять это $n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}$. В результате фактически приходится два связанных квадратных решать диофантовых уравнения:

$d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}$ когда $d_{2}=0$, и

$d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ когда $d_{2}=1$.

Двузначное натуральное число $n=d_{1}d_{0}$ является совершенным цифровым инвариантом по базе

$b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.$

Это можно доказать, рассмотрев первый случай, когда $d_{2}=0$и решение для $b$. Это означает, что для некоторых значений $d_{0}$ и $d_{1}$, $n$ не является совершенным цифровым инвариантом в любой базе, поскольку $d_{1}$ не делителем является $d_{0}(d_{0}-1)$. Более того, $d_{0}>1$, потому что если $d_{0}=0$ или $d_{0}=1$, затем $b=d_{1}$, что противоречит предыдущему утверждению о том, что $0\leq d_{1}<b$.

Не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов для $F_{2,b}$, что можно доказать, рассмотрев второй случай, когда $d_{2}=1$и позволяя $d_{0}=b-a_{0}$ и $d_{1}=b-a_{1}$. Тогда диофантово уравнение для трехзначного идеального цифрового инварианта принимает вид

$(b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})$

$b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})$

$2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})$

$b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})$

$2(a_{0}+a_{1})>a_{1}$ для всех значений $0<a_{1}\leq b$. Таким образом, не существует решений диофантова уравнения и не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов для $F_{2,b}$.

F _{3, b}

После единицы есть всего четыре числа, которые представляют собой суммы кубов своих цифр:

$153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$

$370=3^{3}+7^{3}+0^{3}$

$371=3^{3}+7^{3}+1^{3}$

$407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.$

Это странные факты, очень подходящие для рубрик головоломок и, вероятно, развлекущие любителей, но в них нет ничего, что могло бы привлечь математика. (последовательность A046197 в OEIS )
- Г.Х. Харди , Извинения математика

По определению, любой четырехзначный совершенный цифровой инвариант $n$ для $F_{3,b}$ с натуральными цифрами $0\leq d_{0}<b$, $0\leq d_{1}<b$, $0\leq d_{2}<b$, $0\leq d_{3}<b$ должно удовлетворять четвертой степени диофантовому уравнению $d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$. $d_{3}$ должно быть равно 0, 1, 2 для любого $b>3$, поскольку максимальное значение $n$ могу взять это $n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}$. В результате на самом деле три связанных кубических нужно решить диофантовых уравнения.

$d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ когда $d_{3}=0$

$d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ когда $d_{3}=1$

$d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ когда $d_{3}=2$

Возьмем первый случай, когда $d_{3}=0$.

б = 3к + 1

Позволять $k$ быть положительным целым числом, а основание счисления $b=3k+1$. Затем:

• $n_{1}=kb^{2}+(2k+1)b$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{2}=k$, $d_{1}=2k+1$, и $d_{0}=0$. Затем

${\begin{aligned}F_{3,b}(n_{1})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+0^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+0\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{1}\end{aligned}}$

Таким образом $n_{1}$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

• $n_{2}=kb^{2}+(2k+1)b+1$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{2}=k$, $d_{1}=2k+1$, и $d_{0}=1$. Затем

${\begin{aligned}F_{3,b}(n_{2})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=k^{3}+(2k+1)^{3}+1^{3}\\&=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))+1\\&=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)+1\\&=(3k^{2}+4k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=(k+1)(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)(3k+1)+(3k+1)(3k+1)-k(3k+1)+1\\&=k(3k+1)^{2}+(2k+1)(3k+1)+1\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{2}\end{aligned}}$

Таким образом $n_{2}$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

• $n_{3}=(k+1)b^{2}+(2k+1)$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{2}=k+1$, $d_{1}=0$, и $d_{0}=2k+1$. Затем

${\begin{aligned}F_{3,b}(n_{3})&=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}\\&=(k+1)^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}\\&=((k+1)^{2}-(k+1)(2k+1)+(2k+1)^{2})((k+1)+(2k+1))\\&=((k+1)^{2}+k(2k+1)(3k+2)\\&=(k^{2}+2k+1+2k^{2}+k)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)\\&=(3k^{2}+3k)(3k+2)+(3k+2)\\&=3k(k+1)(3k+2)+(3k+2)\\&=(k+1)((3k+1)^{2}-1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}-(k+1)+(3k+2)\\&=(k+1)(3k+1)^{2}+0(3k+1)+(2k+1)\\&=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}\\&=n_{3}\end{aligned}}$

Таким образом $n_{3}$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Совершенные цифровые инварианты

$k$	$b$	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5Б0	5Б1	60Б
6	19	6Д0	6Д1	70Д
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8Ч0	8H1	90ч
9	28	9J0	9J1	A0J

б = 3к + 2

Позволять $k$ быть положительным целым числом, а основание счисления $b=3k+2$. Затем:

• $n_{1}=kb^{2}+(2k+1)$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{1}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{2}=k$, $d_{1}=2k+1$, и $d_{0}=0$. Затем

$F_{3,b}(n_{1})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}$

$=k^{3}+0^{3}+(2k+1)^{3}$

$=(k^{2}-k(2k+1)+(2k+1)^{2})(k+(2k+1))$

$=(k^{2}-2k^{2}-k+4k^{2}+4k+1)(3k+1)$

$=(3k^{2}+3k+1)(3k+1)$

$=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+3k+1)$

$=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-(3k^{2}+2k+k+1)$

$=(3k^{2}+3k+1)(3k+2)-k(3k+2)-(k+1)$

$=(3k^{2}+2k+1)(3k+2)-(k+1)$

$=(3k^{2}+2k)(3k+2)+(3k+2)-(k+1)$

$=k(3k+2)^{2}+(2k+1)$

$=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$

$=n_{1}$

Таким образом $n_{1}$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Совершенные цифровые инварианты

$k$	$b$	$n_{1}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50Б
6	20	60Д
7	23	70F
8	26	80ч
9	29	90Дж

б = 6 к + 4

Позволять $k$ быть положительным целым числом, а основание счисления $b=6k+4$. Затем:

• $n_{4}=kb^{2}+(3k+2)b+(2k+1)$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{4}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{2}=k+1$, $d_{1}=3k+2$, и $d_{0}=2k+1$. Затем

$F_{3,b}(n_{3})=d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}$

$=(k)^{3}+(3k+2)^{3}+(2k+1)^{3}$

$=k^{3}+((3k+2)^{2}-(3k+2)(2k+1)+(2k+1)^{2})((3k+2)+(2k+1))$

$=k^{3}+((3k+2)(k+1)+(2k+1)^{2})(5k+3)$

$=k^{3}+(3k^{2}+5k+2+4k^{2}+4k+1)(5k+3)$

$=k^{3}+(7k^{2}+9k+3)(5k+3)$

$=k^{3}+5k(7k^{2}+9k+3)+3(7k^{2}+9k+3)$

$=k^{3}+35k^{3}+45k^{2}+15k+21k^{2}+27k+9$

$=36k^{3}+66k^{2}+42k+9$

$=(6k+4)(6k^{2})+42k^{2}+42k+9$

$=(6k+4)(6k^{2})+(6k+4)(4k^{2})+18k^{2}+26k+9$

$=(6k+4)(6k^{2}+4k)+18k^{2}+26k+9$

$=k(6k+4)^{2}+(6k+4)(3k)+14k+9$

$=k(6k+4)^{2}+(3k+2)(6k+4)+2k+1$

$=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}$

$=n_{4}$

Таким образом $n_{4}$ является совершенным цифровым инвариантом для $F_{3,b}$ для всех $k$.

Совершенные цифровые инварианты

$k$	$b$	$n_{4}$
0	4	021
1	10	153
2	16	285
3	22	3Б7
4	28	4E9

Ф _{п , б}

Все числа представлены в базе $b$.

$p$	$b$	Нетривиальные совершенные цифровые инварианты	Циклы
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	$\varnothing$	$\varnothing$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	$\varnothing$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	$\varnothing$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, А5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2А → 88 → А8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → А0 → 79 98 → Б2 → 98
	14	$\varnothing$	1Б → 8А → БА → 11Б → 8Б → Д3 → СА → 136 → 34 → 1Б 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1Б → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2Б → 85 → 5Е → ЭБ → 162 → 2Б 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9А → С1 → 9А D6 → DA → 12E → D6
	16	$\varnothing$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	$\varnothing$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, А06, А64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 А → 82А → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4А → 888 → 1177 → 576 → 5723 → А3 → 8793 → 1210 → А 25А → 940 → 661 → 364 → 25А 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49А → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49А
	12	577, 668, А83, 11АА
	13	490, 491, 509, Б85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	С3А, Д87
	16	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	$\varnothing$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	$\varnothing$
	7	$\varnothing$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	$\varnothing$
	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Расширение для отрицательных целых чисел

Совершенные цифровые инварианты можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Сбалансированный тройной

В сбалансированной троичной системе цифры равны 1, -1 и 0. Это приводит к следующему:

• Со странными способностями $p\equiv 1{\bmod {2}}$, $F_{p,{\text{bal}}3}$ сводится к итерации суммы цифр , так как $(-1)^{p}=-1$, $0^{p}=0$ и $1^{p}=1$.
• С четными полномочиями $p\equiv 0{\bmod {2}}$, $F_{p,{\text{bal}}3}$ указывает, является ли число четным или нечетным, поскольку сумма каждой цифры будет указывать на деление на 2 тогда и только тогда, когда сумма цифр оканчивается на 0. Как $0^{p}=0$ и $(-1)^{p}=1^{p}=1$, для каждой пары цифр 1 или -1 их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 2.

со

Основная статья: 3

Счастливое число $n$ для данной базы $b$ и заданная мощность $p$ является предпериодической точкой для идеальной цифровой инвариантной функции $F_{p,b}$ такой, что $m$-я итерация $F_{p,b}$ равен тривиальному совершенному цифровому инварианту $1$, а несчастливое число — это такое, для которого не существует такого $m$.

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализована функция идеального цифрового инварианта, описанная в определении выше, для поиска идеальных цифровых инвариантов и циклов в Python . Это можно использовать для поиска счастливых чисел .

def pdif(x: int, p: int, b: int) -> int:
    """Perfect digital invariant function."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + pow(x % b, p)
        x = x // b
    return total

def pdif_cycle(x: int, p: int, b: int) -> list[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pdif(x, p, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pdif(x, p, b)
    return cycle

См. также

• Арифметическая динамика
• Число Дюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Мертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифро-цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Внешние ссылки

• Цифровые инварианты