Факторион

В теории чисел — фактор в заданной системе счисления. $b$ — натуральное число , равное сумме факториалов своих цифр . Название «факторион» было придумано автором Клиффордом А. Пиковером .

Определение

Позволять $n$ быть натуральным числом. Для базы $b>1$, определяем сумму факториалов цифр из $n$, $\operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, быть следующим:

$\operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.$

где $k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1$ это количество цифр в числе по основанию $b$, $n!$ является факториалом ​ $n$ и

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}$

это ценность $i$-я цифра номера. Натуральное число $n$ это $b$- фактория , если это фиксированная точка для $\operatorname {SFD} _{b}$, то есть если $\operatorname {SFD} _{b}(n)=n$. $1$ и $2$ являются фиксированными точками для всех оснований $b$, и, таким образом, являются тривиальными факторами для всех $b$, а все остальные факторионы являются нетривиальными факторами .

Например, число 145 в базе $b=10$ это фабрика, потому что $145=1!+4!+5!$.

Для $b=2$, сумма факториалов цифр — это просто количество цифр $k$ в представлении по основанию 2, поскольку $0!=1!=1$.

Натуральное число $n$ является общительной факторией, если она является периодической точкой для $\operatorname {SFD} _{b}$, где $\operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n$ для положительного целого числа $k$, и образует цикл периода $k$. Фактория – это общительная фактория с $k=1$, а дружеская фактория — это общительная фактория с $k=2$.

Все натуральные числа $n$ являются предпериодическими точками для $\operatorname {SFD} _{b}$, независимо от базы. Это потому, что все натуральные числа по основанию $b$ с $k$ цифры удовлетворяют $b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)$. Однако, когда $k\geq b$, затем $b^{k-1}>(b-1)!(k)$ для $b>2$, так что любой $n$ удовлетворит $n>\operatorname {SFD} _{b}(n)$ до $n<b^{b}$. Существует конечное число натуральных чисел, меньших $b^{b}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем $b^{b}$, что делает ее предпериодической точкой. Для $b=2$, количество цифр $k\leq n$ для любого числа, опять же, что делает его предпериодической точкой. существует конечное число факторий и циклов. Это также означает, что для любой данной базы $b$.

Количество итераций $i$ необходимо для $\operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)$ достичь фиксированной точки - это $\operatorname {SFD} _{b}$ функции постоянство ​ $n$и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Факторы для ЮФО _б

б = ( к - 1)!

Позволять $k$ быть положительным целым числом, а основание счисления $b=(k-1)!$. Затем:

• $n_{1}=kb+1$ это фабрика по $\operatorname {SFD} _{b}$ для всех $k.$

Доказательство

Пусть цифры $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{1}=k$, и $d_{0}=1.$ Затем

$\operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!$

$=k!+1!$

$=k(k-1)!+1$

$=d_{1}b+d_{0}$

$=n_{1}$

Таким образом $n_{1}$ это фабрика по $F_{b}$ для всех $k$.

• $n_{2}=kb+2$ это фабрика по $\operatorname {SFD} _{b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{1}=k$, и $d_{0}=2$. Затем

$\operatorname {SFD} _{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!$

$=k!+2!$

$=k(k-1)!+2$

$=d_{1}b+d_{0}$

$=n_{2}$

Таким образом $n_{2}$ это фабрика по $F_{b}$ для всех $k$.

Факторионы

$k$	$b$	$n_{1}$	$n_{2}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

б = к ! − k + 1

Позволять $k$ быть положительным целым числом, а основание счисления $b=k!-k+1$. Затем:

• $n_{1}=b+k$ это фабрика по $\operatorname {SFD} _{b}$ для всех $k$.

Доказательство

Пусть цифры $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ быть $d_{1}=1$, и $d_{0}=k$. Затем

$\operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!$

$=1!+k!$

$=k!+1-k+k$

$=1(k!-k+1)+k$

$=d_{1}b+d_{0}$

$=n_{1}$

Таким образом $n_{1}$ это фабрика по $F_{b}$ для всех $k$.

Факторионы

$k$	$b$	$n_{1}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Таблица факторий и циклов СФД _б

Все числа представлены в базе $b$.

База $b$	Нетривиальный фактор( $n\neq 1$, $n\neq 2$)	Циклы
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	$\varnothing$	$\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\varnothing$
6	41, 42	$\varnothing$
7	$\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

См. также

• Арифметическая динамика
• Число Дюдени
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Мертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифро-цифровой инвариант
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Внешние ссылки

• Факторион в Wolfram MathWorld