Сенарий

Шестеричная ɛ ( / ˈ s iː n ər i , ˈ s n шестимерная ər i / ) система счисления (также известная как , шестнадцатеричная или сексимальная ) имеет шесть в качестве основания . Он был принят независимо небольшим количеством культур. Как и десятичная основа 10, она является полупростой , хотя она уникальна, поскольку является произведением только двух последовательных чисел, которые оба являются простыми (2 и 3). Поскольку шесть является высшим составным числом , многие аргументы в пользу двенадцатеричной системы также применимы и к девятеричной системе.

Формальное определение

Стандартный набор цифр в семеричной системе: ${\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace$ , с линейным порядком $0<1<2<3<4<5$ . Позволять ${\mathcal {D}}_{6}^{*}$ быть Клини замыканием ${\mathcal {D}}_{6}$ , где $ab$ — это операция конкатенации строк для $a,b\in {\mathcal {D}}^{*}$ . Шестеричная система счисления натуральных чисел ${\mathcal {N}}_{6}$ это набор факторов ${\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim$ оснащен шортлексным порядком , где класс эквивалентности $\sim$ является $\lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace$ . Как ${\mathcal {N}}_{6}$ имеет шортлексный порядок, он изоморфен натуральным числам $\mathbb {N}$ .

Математические свойства

Шестеричная таблица умножения
×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

При выражении в шестеричной системе все простые числа, кроме 2 и 3, имеют в качестве последней цифры 1 или 5. В семеричной системе простые числа записываются:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (последовательность A004680 в ОЭИС )

То есть для каждого простого числа p, большего 3, существуют модульные арифметические соотношения, согласно которым либо p ≡ 1, либо 5 (по модулю 6) (то есть 6 делит либо p - 1, либо p - 5); последняя цифра — 1 или 5. Это доказывается от противного.

Для любого целого числа n :

Если n ≡ 0 (по модулю 6), 6 | н
Если n ≡ 2 (по модулю 6), 2 | н
Если n ≡ 3 (по модулю 6), 3 | н
Если n ≡ 4 (по модулю 6), 2 | н

Кроме того, поскольку четыре наименьших простых числа (2, 3, 5, 7) являются либо делителями, либо соседями числа 6, в senary есть простые критерии делимости для многих чисел.

Более того, все четные совершенные числа, кроме 6, имеют 44 в качестве последних двух цифр, когда они выражены в шестереричной системе, что подтверждается тем фактом, что каждое четное совершенное число имеет форму 2. ^{р – 1}(2 ^п – 1) , где 2 ^п − 1 — простое число.

Сенария также является самой большой системой счисления r, которая не имеет полных чисел, кроме 1 и r - 1, что делает ее таблицу умножения очень регулярной для ее размера и минимизирует количество усилий, необходимых для запоминания ее таблицы. Это свойство максимизирует вероятность того, что результат целочисленного умножения оканчивается нулем, при условии, что ни один из его множителей не заканчивается.

Если число делится на 2, то последняя цифра этого числа, выраженная в шестереричном формате, равна 0, 2 или 4.Если число делится на 3, то последняя цифра этого числа в девятикратной системе равна 0 или 3.Число делится на 4, если его предпоследняя цифра нечетна, а последняя цифра равна 2, или его предпоследняя цифра четна, а последняя цифра равна 0 или 4.Число делится на 5, если сумма его шестизначных цифр делится на 5 (эквивалент отбрасывания девяток в десятичной системе счисления).Если число делится на 6, то последняя цифра этого числа равна 0.Чтобы определить, делится ли число на 7, можно просуммировать его чередующиеся цифры и вычесть эти суммы; если результат делится на 7, число делится на 7, аналогично тесту на делимость «11» в десятичной системе счисления.

Фракции

Поскольку шесть является произведением первых двух простых чисел и примыкает к следующим двум простым числам, многие девятеричные дроби имеют простые представления:

Фракция	Основные факторы знаменателя	Позиционное представление	Позиционное представление	Основные факторы знаменателя	Фракция
Десятичная база Простые множители основания: 2 , 5 Простые делители на единицу ниже основания: 3 Простые множители на единицу выше основания: 11.			база сценариев Простые множители основания: 2 , 3 Простые делители на единицу ниже основания: 5 Простые делители на единицу выше основания: 7 (=11 ₆ )
⁠ 1 / 2 ⁠	2	0.5	0.3	2	⁠ 1 / 2 ⁠
⁠ 1 / 3 ⁠	3	0. 3333... = 0. 3	0.2	3	⁠ 1 / 3 ⁠
⁠ 1 / 4 ⁠	2	0.25	0.13	2	⁠ 1 / 4 ⁠
⁠ 1 / 5 ⁠	5	0.2	0. 1111... = 0. 1	5	⁠ 1 / 5 ⁠
⁠ 1 / 6 ⁠	2 , 3	0.1 6	0.1	2 , 3	⁠ 1 / 10 ⁠
⁠ 1 / 7 ⁠	7	0. 142857	0. 05	11	⁠ 1 / 11 ⁠
⁠ 1 / 8 ⁠	2	0.125	0.043	2	⁠ 1 / 12 ⁠
⁠ 1 / 9 ⁠	3	0. 1	0.04	3	⁠ 1 / 13 ⁠
⁠ 1 / 10 ⁠	2 , 5	0.1	0.0 3	2 , 5	⁠ 1 / 14 ⁠
⁠ 1 / 11 ⁠	11	0. 09	0. 0313452421	15	⁠ 1 / 15 ⁠
⁠ 1 / 12 ⁠	2 , 3	0.08 3	0.03	2 , 3	⁠ 1 / 20 ⁠
⁠ 1 / 13 ⁠	13	0. 076923	0. 024340531215	21	⁠ 1 / 21 ⁠
⁠ 1 / 14 ⁠	2 , 7	0.0 714285	0.0 23	2 , 11	⁠ 1 / 22 ⁠
⁠ 1 / 15 ⁠	3 , 5	0.0 6	0.0 2	3 , 5	⁠ 1 / 23 ⁠
⁠ 1 / 16 ⁠	2	0.0625	0.0213	2	⁠ 1 / 24 ⁠
⁠ 1 / 17 ⁠	17	0. 0588235294117647	0. 0204122453514331	25	⁠ 1 / 25 ⁠
⁠ 1 / 18 ⁠	2 , 3	0.0 5	0.02	2 , 3	⁠ 1 / 30 ⁠
⁠ 1 / 19 ⁠	19	0. 052631578947368421	0. 015211325	31	⁠ 1 / 31 ⁠
⁠ 1 / 20 ⁠	2 , 5	0.05	0.01 4	2 , 5	⁠ 1 / 32 ⁠
⁠ 1 / 21 ⁠	3 , 7	0. 047619	0.0 14	3 , 11	⁠ 1 / 33 ⁠
⁠ 1 / 22 ⁠	2 , 11	0.0 45	0.0 1345242103	2 , 15	⁠ 1 / 34 ⁠
⁠ 1 / 23 ⁠	23	0. 0434782608695652173913	0. 01322030441	35	⁠ 1 / 35 ⁠
⁠ 1 / 24 ⁠	2 , 3	0.041 6	0.013	2 , 3	⁠ 1 / 40 ⁠
⁠ 1 / 25 ⁠	5	0.04	0. 01235	5	⁠ 1 / 41 ⁠
⁠ 1 / 26 ⁠	2 , 13	0.0 384615	0.0 121502434053	2 , 21	⁠ 1 / 42 ⁠
⁠ 1 / 27 ⁠	3	0. 037	0.012	3	⁠ 1 / 43 ⁠
⁠ 1 / 28 ⁠	2 , 7	0.03 571428	0.01 14	2 , 11	⁠ 1 / 44 ⁠
⁠ 1 / 29 ⁠	29	0. 0344827586206896551724137931	0. 01124045443151	45	⁠ 1 / 45 ⁠
⁠ 1 / 30 ⁠	2 , 3 , 5	0.0 3	0.0 1	2 , 3 , 5	⁠ 1 / 50 ⁠
⁠ 1 / 31 ⁠	31	0. 032258064516129	0. 010545	51	⁠ 1 / 51 ⁠
⁠ 1 / 32 ⁠	2	0.03125	0.01043	2	⁠ 1 / 52 ⁠
⁠ 1 / 33 ⁠	3 , 11	0. 03	0.0 1031345242	3 , 15	⁠ 1 / 53 ⁠
⁠ 1 / 34 ⁠	2 , 17	0.0 2941176470588235	0.0 1020412245351433	2 , 25	⁠ 1 / 54 ⁠
⁠ 1 / 35 ⁠	5 , 7	0.0 285714	0. 01	5 , 11	⁠ 1 / 55 ⁠
⁠ 1 / 36 ⁠	2 , 3	0.02 7	0.01	2 , 3	⁠ 1 / 100 ⁠

Счет пальцев

34 _{семеричных} = 22 _{десятичных числа} , в шестнадцатеричном пальцевом счете.

Можно сказать, что каждая обычная человеческая рука имеет шесть однозначных положений; кулак, один палец вытянут, два, три, четыре, а затем вытянуты все пять пальцев.

Если правая рука используется для обозначения единицы измерения (от 0 до 5), а левая — для представления кратных 6, то один человек становится возможным представлять значения от нуля до 55 _{сенарных} (35 _{десятичных} ) с помощью пальцев. а не обычные десять, полученные при стандартном пересчете пальцев. например, если вытянуты три пальца на левой руке и четыре на правой, то _{34 семерки} будет представлено . Это эквивалентно 3 × 6 + 4 , что составляет 22 _{десятичных числа} .

Кроме того, этот метод является наименее абстрактным способом счета с использованием двух рук, что отражает концепцию позиционной записи , поскольку движение от одной позиции к другой осуществляется путем переключения с одной руки на другую. В то время как большинство развитых культур считают по пальцам до 5 очень похожими способами, незападные культуры, превышающие 5, отклоняются от западных методов, например, с помощью китайских числовых жестов . Поскольку счет на семи пальцах также отклоняется только за пределы 5, этот метод счета конкурирует по простоте с традиционными методами счета, и этот факт может иметь значение для обучения юных учеников позиционным обозначениям.

Какая рука используется для «шестерок» и какие единицы, зависит от предпочтений счетчика; однако, если смотреть с точки зрения счетчика, использование левой руки в качестве наиболее значимой цифры коррелирует с письменным представлением того же девятеричного числа. Переворот руки с «шестерками» на обратную сторону может помочь еще больше понять, какая рука представляет «шестерки», а какая — единицы. Однако недостатком шестеричного счета является то, что без предварительного соглашения две стороны не смогут использовать эту систему, поскольку не уверены, какая рука представляет шестерки, а какая — единицы, тогда как десятичный счет (когда числа после 5 выражаются открытым ладонь и дополнительные пальцы), будучи по сути унарной системой, требует только, чтобы другая сторона подсчитала количество вытянутых пальцев.

В баскетболе NCAA игроков номера на форме ограничены девятизначными числами, состоящими не более чем из двух цифр, чтобы судьи могли сигнализировать, какой игрок совершил нарушение, используя эту систему подсчета пальцев. ^[1]

Более абстрактные системы подсчета пальцев , такие как чисанбоп или двоичная система пальцев , позволяют считать до 99, 1023 или даже выше в зависимости от метода (хотя и не обязательно по своей природе десятеричной). Английский монах и историк Беда описал в первой главе своего труда De temporumratione , (725) под названием « Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum », систему, позволяющую считать на двух руках до 9999 чисел. ^[2]^[3]

Естественные языки

Несмотря на редкость культур, в которых большие количества группируются по 6, обзор развития систем счисления предполагает, что порог численности равен 6 (возможно, концептуализируется как «целый», «кулак» или «за пределами пяти пальцев»). ^[4]), при этом 1–6 часто являются чистыми формами, а цифры впоследствии создаются или заимствуются. ^[5]

Сообщается, что в языке ндом индонезийской Новой Гвинеи есть шестеричные цифры. ^[6]^[7] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36 и nif thef означает 36 × 2 = 72.

Другим примером из Папуа-Новой Гвинеи являются языки ям . На этих языках счет связан с ритуальным подсчетом батата. В этих языках счет ведется по основанию шесть, используя слова, обозначающие степени шести; работает до 6 ⁶ для некоторых языков. Одним из примеров является Комнзо со следующими цифрами: нибо (6 ¹), FTА (6 ² [36]), таруба (6 ³ [216]), урон (6 ⁴ [1296]), Варямяка (6 ⁵ [7776]), wi (6 ⁶ [46656]).

в некоторых нигерско-конголезских языках Сообщается, что используется шестеричная система счисления, обычно в дополнение к другой, например десятичной или двадцатеричной . ^[5]

Предполагается, что в протоуральском языке также были шестеричные цифры, причем цифра 7 была заимствована позже, хотя данные о построении более крупных цифр (8 и 9) путем вычитания из десяти предполагают, что это может быть не так. ^[5]

Основание 36 как шестеричное сжатие

Для некоторых целей сенарий может оказаться слишком маленькой базой для удобства. Это можно обойти, используя квадрат по основанию 36 (шестидесятеричный), поскольку тогда преобразование упрощается путем простого выполнения следующих замен:

десятичный	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
База 6	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25
База 36	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`H`

десятичный	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
База 6	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55
База 36	`I`	`J`	`K`	`L`	`M`	`N`	`O`	`P`	`Q`	`R`	`S`	`T`	`U`	`V`	`W`	`X`	`Y`	`Z`

Таким образом, число 3ARK ₃₆ по основанию 36 равно шестеричному числу 3144332 ₆ . В десятичном виде это 153 920.

Выбор числа 36 в качестве системы счисления удобен тем, что цифры можно представить арабскими цифрами 0–9 и латинскими буквами A–Z; этот выбор является основой схемы кодирования base36 . Эффект сжатия числа 36, являющегося квадратом числа 6, приводит к тому, что многие шаблоны и представления становятся короче в системе счисления 36:

⁠ 1 9 ₁₀⁠ = 0.04 ₆ = 0.4 ₃₆

⁠ 1 16 ₁₀⁠ = 0.0213 ₆ = 0.29 ₃₆

⁠ 1 5 ₁₀⁠ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

⁠ 1 7 ₁₀⁠ = 0. 05 ₆ = 0. 5 ₃₆

См. также

Метод Diceware для кодирования значений Base-6 в произносимые пароли.
Base36 Схема кодирования
Шифр ADFGVX для шифрования текста в серию эффективно состоящих из девяти цифр.

Ссылки

^ Шенбрун, Зак (31 марта 2015 г.). «Подсчет цифр: баскетболисты колледжей не могут носить 6, 7, 8 или 9» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 31 августа 2022 г.
^ Блум, Джонатан М. (весна 2002 г.). «Суммы вручную: древнее искусство счета пальцами» . Бостонский колледж . Архивировано из оригинала 13 августа 2011 года . Проверено 12 мая 2012 г.
^ «Дактилономия» . Лапутанская логика. 16 ноября 2006 г. Архивировано из оригинала 23 марта 2012 г. . Проверено 12 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
^ Блевинс, Джульетта (3 мая 2018 г.). «Происхождение северного костаноанского языка ak:en 'шесть': пересмотр семеричного счета в Утиане». Международный журнал американской лингвистики . 71 (1): 87–101. дои : 10.1086/430579 . JSTOR 10.1086/430579 . S2CID 144384806 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Планк, Франс (26 апреля 2009 г.). «Сенарное резюме на данный момент» (PDF) . Лингвистическая типология . 13 (2). дои : 10.1515/LITY.2009.016 . S2CID 55100862 . Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2016 г. Проверено 31 августа 2022 г.
^ Оуэнс, Кей (апрель 2001 г.). «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» . Журнал исследований математического образования . 13 (1): 47–71. Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O . дои : 10.1007/BF03217098 . ISSN 1033-2170 . S2CID 161535519 . Проверено 31 августа 2022 г. - через Springer.
^ Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» , , Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O , doi : 10.1007/BF03217098 , S2CID 161535519 , заархивировано из оригинала 26 сентября 2015 г.

Внешние ссылки

[1] Шенбрун, Зак (31 марта 2015 г.). «Подсчет цифр: баскетболисты колледжей не могут носить 6, 7, 8 или 9» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 31 августа 2022 г.

[handsums-2] Блум, Джонатан М. (весна 2002 г.). «Суммы вручную: древнее искусство счета пальцами» . Бостонский колледж . Архивировано из оригинала 13 августа 2011 года . Проверено 12 мая 2012 г.

[laputan-3] «Дактилономия» . Лапутанская логика. 16 ноября 2006 г. Архивировано из оригинала 23 марта 2012 г. . Проверено 12 мая 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )

[4] Блевинс, Джульетта (3 мая 2018 г.). «Происхождение северного костаноанского языка ak:en 'шесть': пересмотр семеричного счета в Утиане». Международный журнал американской лингвистики . 71 (1): 87–101. дои : 10.1086/430579 . JSTOR 10.1086/430579 . S2CID 144384806 .

[plankS-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Планк, Франс (26 апреля 2009 г.). «Сенарное резюме на данный момент» (PDF) . Лингвистическая типология . 13 (2). дои : 10.1515/LITY.2009.016 . S2CID 55100862 . Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2016 г. Проверено 31 августа 2022 г.

[6] Оуэнс, Кей (апрель 2001 г.). «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» . Журнал исследований математического образования . 13 (1): 47–71. Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O . дои : 10.1007/BF03217098 . ISSN 1033-2170 . S2CID 161535519 . Проверено 31 августа 2022 г. - через Springer.

[7] Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» , , Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O , doi : 10.1007/BF03217098 , S2CID 161535519 , заархивировано из оригинала 26 сентября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]